在上一篇文章《運(yùn)動學(xué)似乎已經(jīng)足夠了，為什么還需要動力學(xué)》中，我們談到了動力學(xué)要研究的幾個問題以及研究動力學(xué)的用途。 這篇文章的閱讀量出乎意料地比其他文章多。 是不是大家都和筆者一樣對這個問題感到困惑呢？ 不管怎樣，如果你還沒有讀過那本書，CC 建議你看一下。
剛體動力學(xué)
我們知道，機(jī)械臂由關(guān)節(jié)和連桿組成：關(guān)節(jié)可以對與其連接的連桿施加特定方向的力； 連桿有質(zhì)量和尺寸（因此慣性張量不能忽略），不會變形。 的剛體。 可見，機(jī)械臂動力學(xué)的本質(zhì)是剛體動力學(xué)。
大學(xué)物理里的剛體動力學(xué)我們都應(yīng)該學(xué)過，但CC在這篇文章中依然會詳細(xì)推演。 為什么？ 因為仔細(xì)瀏覽這部分內(nèi)容并清楚、透徹地理解它們對于理解更復(fù)雜的機(jī)械臂動力學(xué)問題非常重要。 如果您認(rèn)為自己已經(jīng)熟悉剛體動力學(xué)，可以跳過本節(jié)。
剛體動力學(xué)研究剛體的運(yùn)動狀態(tài)與其所受到的外力之間的關(guān)系。 這種關(guān)系可以用歐拉運(yùn)動定律來描述。 歐拉運(yùn)動定律是牛頓第二定律的擴(kuò)展，即眾所周知的 F = ma； 如果說牛頓定律描述的是抽象的“物體”或“粒子”（），那么歐拉定律則將其延伸到無數(shù)個聚集在一起形成的特定體積剛體。
歐拉第一運(yùn)動定律（牛頓定律）
歐拉第一定律描述了剛體的線性運(yùn)動 ( ) 與其所受到的外力之間的關(guān)系。
首先，引入線動量（ ）的概念，它等于物體（粒子）的質(zhì)量乘以線速度。 根據(jù)牛頓第二定律（d(mv)/dt = ma = F），線動量的變化率等于物體所受的外力。
剛體可以看作是一個無限集合，剛體的線性動量等于這些線性動量的總和。 由于剛體的性質(zhì)，作用在剛體上任意一點(diǎn)的外力同樣作用在所有點(diǎn)上，導(dǎo)致它們的線性動量發(fā)生變化。所以我們有
方程的右側(cè)可以轉(zhuǎn)換為對剛體質(zhì)量的積分：
矢量r表示剛體上各點(diǎn)在一定參考系中的位置矢量。
請注意，質(zhì)心（質(zhì)心）定義如下：
(下標(biāo)cm代表質(zhì)量)
所以我們有：
最后我們得出結(jié)論：剛體的線動量是剛體的質(zhì)量與其質(zhì)心線速度的乘積。 這個結(jié)論表明，在考慮剛體直線運(yùn)動時，只需要考慮質(zhì)心的直線運(yùn)動即可。
歐拉第一定律指出，剛體的線性動量的變化率等于其上的外力：
顯然，線速度的導(dǎo)數(shù)就是線加速度，因此歐拉第一定律也可以寫成如下形式。 （經(jīng)過大量推導(dǎo)，結(jié)論與牛頓定律幾乎相同）
歐拉第二運(yùn)動定律
歐拉第二定律描述了剛體的角運(yùn)動 ( ) 與其所經(jīng)歷的力矩（力）之間的關(guān)系。 扭矩這個概念相信大家都很熟悉。 當(dāng)力作用時，它相對于另一點(diǎn)O有一個力臂。力臂與力的叉積就是力矩。 （扭矩是矢量，不是標(biāo)量，方向指向物體旋轉(zhuǎn)的方向。把這個關(guān)系記錄為叉積，理解會清晰很多！還有，注意叉積的順序）
與線動量類似，我們還引入角動量（ ）的概念：質(zhì)點(diǎn)相對于某一固定點(diǎn)的角動量等于其質(zhì)量與角速度的乘積。 顯然，角速度（相對于該固定點(diǎn)）等于該固定點(diǎn)到粒子的位置向量與粒子的線速度（相對于該固定點(diǎn)）的叉積。
那么角動量可寫為：
從牛頓定律 F = ma 出發(fā)，將方程兩邊與位置向量叉乘可得：
所以我們可以得到類似于“物體線動量的變化等于對其施加的外力”的結(jié)論：物體的角動量的變化率等于其受到的扭矩，即
現(xiàn)在，我們再次需要將這個結(jié)論擴(kuò)展到由無數(shù)集合組成的剛體； 這部分比第一定律的推導(dǎo)麻煩一點(diǎn)。
首先我們需要推導(dǎo)剛體角動量的表達(dá)式，仍然將其視為無限集，則有
請注意歐拉運(yùn)動定律，我們用角速度和位置矢量的叉積代替了線速度。 對于剛體來說，剛體上每一點(diǎn)的角速度都是相同的，所以我們可以把它放在求和之外。 將上面的方程寫成體積積分，我們有：
上圖中p上方的小尖頭稱為叉積算子（Cross）。 該運(yùn)算符將兩個向量的叉積轉(zhuǎn)換為矩陣乘法向量運(yùn)算。對于 3×1 向量，我們有
這里，我們將上圖積分方程中括號[]內(nèi)的部分定義為慣性張量I：
關(guān)于慣性張量，限于篇幅，我們不再詳細(xì)討論。最終，我們得到剛體的角動量表達(dá)式為
與力是線性動量的變化率類似，剛體所經(jīng)歷的扭矩 ( ) 定義為剛體的角動量的變化率。 為了找到扭矩、角速度和角加速度之間的關(guān)系，我們可以求出上式兩邊的導(dǎo)數(shù)：
dw/dt顯然是剛體的角加速度，但是dI/dt是什么呢？ 它是張量對時間的導(dǎo)數(shù)，不一定等于0！ 我們知道，張量是剛體上各點(diǎn)相對于靜止參考系的位置向量進(jìn)行一定運(yùn)算后的體積積分。 這些位置向量隨著剛體的旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn)； 類似地歐拉運(yùn)動定律，一點(diǎn)的線速度等于角速度，對位置向量求叉積，可得：
（不是嚴(yán)格推導(dǎo)！只是一種理解方式。）
最后我們得到
用表格總結(jié)剛體動力學(xué)：
牛頓歐拉法推導(dǎo)機(jī)械臂動力學(xué)
在花了這么多篇幅詳細(xì)推導(dǎo)剛體動力學(xué)的歐拉運(yùn)動方程之后，我們終于可以看看機(jī)械臂的動力學(xué)了。 解決機(jī)器人手臂動力學(xué)的最終目標(biāo)是，如果我們需要控制機(jī)器人沿著某個軌跡運(yùn)動（不要忘記軌跡是位置與時間的函數(shù)），需要多大的扭矩（旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)）或力（平移關(guān)節(jié)）關(guān)節(jié)）是由每個關(guān)節(jié)的驅(qū)動器施加的？ 聯(lián)合的）。
用牛頓歐拉方法推導(dǎo)機(jī)械臂的動力學(xué)，需要兩個步驟：第一步是“速度和加速度的前向傳遞（ ）”：從基點(diǎn)開始，依次計算每個環(huán)節(jié)的速度和加速度，所有到終點(diǎn)執(zhí)行器的方式； 齊次序列為“逆?zhèn)髁Γāぃ保簭哪┒藞?zhí)行器所受的外力出發(fā)，反算出各關(guān)節(jié)的扭矩/力。 牛頓-歐拉推導(dǎo)機(jī)器人手臂動力學(xué)的方法是一種遞歸算法。
首先，查看連桿的角速度。 每個連桿的角速度等于前一個連桿的角速度加上其關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)引起的角速度（對于平移關(guān)節(jié)，此項為0）； 據(jù)此，我們可以得到連桿角速度的傳遞公式。 通過對公式兩邊求導(dǎo)，我們可以進(jìn)一步得到角加速度的傳遞公式。
其中 θ 是關(guān)節(jié)位置（旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的角度），Z 是關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)軸。 注意，上面的公式并沒有表明每個向量使用的幀。 在實(shí)際計算中，需要使用旋轉(zhuǎn)矩陣將不同參考系中的向量映射到同一參考系中。
對于線速度，每個連桿的線速度等于前一個連桿（質(zhì)心）的線速度、前一個連桿的旋轉(zhuǎn)引起的線速度和平移關(guān)節(jié)的線速度之和。 對方程兩邊求導(dǎo)即可得出線性加速度的傳遞公式。
其中d是關(guān)節(jié)位置（平移關(guān)節(jié)的平移位置），Z是關(guān)節(jié)平移方向，p是從前一個連桿的質(zhì)心到當(dāng)前連桿的位置向量。
有了速度和加速度的傳遞公式，我們就可以根據(jù)歐拉運(yùn)動方程很容易計算出各連桿的慣性力和轉(zhuǎn)動慣量：
現(xiàn)在我們來分析每個連桿上的應(yīng)力。 從牛頓第三定律我們知道，力的作用是相互的，所以我們可以用fi來表示每個連桿對前一個連桿施加的力，用ni來表示它所受到的力矩。
如圖所示，我們有
那么每個關(guān)節(jié)的扭矩/力是
一張圖總結(jié)了這個復(fù)雜的過程（對于六自由度機(jī)械臂）：
我們的標(biāo)題圖概念化了這個過程：
一個簡單的例子
為了讓大家更好地理解牛頓歐拉遞歸法的求解過程（也更好地理解這個方法有多么復(fù)雜），這里舉一個簡單的例子——一只只有一個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的機(jī)械臂。
其中，連桿長度為l，質(zhì)心位于l/2處。
階段，我們可以找到速度、加速度和慣性力。 注意，式中的s1表示sinθ1，c1表示cosθ1，g是重力加速度。
階段，我們可以發(fā)現(xiàn)
最后我們得到
牛頓歐拉法的思想非常直觀，過程也非常漫長和復(fù)雜。 在下一篇文章中，CC將為您講述少一點(diǎn)簡單粗暴多一點(diǎn)優(yōu)雅智能的拉格朗日方法。
