在上一篇文章《運動學似乎已經足夠了，為什么還需要動力學》中，我們談到了動力學要研究的幾個問題以及研究動力學的用途。 這篇文章的閱讀量出乎意料地比其他文章多。 是不是大家都和筆者一樣對這個問題感到困惑呢？ 不管怎樣，如果你還沒有讀過那本書，CC 建議你看一下。
剛體動力學
我們知道，機械臂由關節和連桿組成：關節可以對與其連接的連桿施加特定方向的力； 連桿有質量和尺寸（因此慣性張量不能忽略），不會變形。 的剛體。 可見，機械臂動力學的本質是剛體動力學。
大學物理里的剛體動力學我們都應該學過，但CC在這篇文章中依然會詳細推演。 為什么？ 因為仔細瀏覽這部分內容并清楚、透徹地理解它們對于理解更復雜的機械臂動力學問題非常重要。 如果您認為自己已經熟悉剛體動力學，可以跳過本節。
剛體動力學研究剛體的運動狀態與其所受到的外力之間的關系。 這種關系可以用歐拉運動定律來描述。 歐拉運動定律是牛頓第二定律的擴展，即眾所周知的 F = ma； 如果說牛頓定律描述的是抽象的“物體”或“粒子”（），那么歐拉定律則將其延伸到無數個聚集在一起形成的特定體積剛體。
歐拉第一運動定律（牛頓定律）
歐拉第一定律描述了剛體的線性運動 ( ) 與其所受到的外力之間的關系。
首先，引入線動量（ ）的概念，它等于物體（粒子）的質量乘以線速度。 根據牛頓第二定律（d(mv)/dt = ma = F），線動量的變化率等于物體所受的外力。
剛體可以看作是一個無限集合，剛體的線性動量等于這些線性動量的總和。 由于剛體的性質，作用在剛體上任意一點的外力同樣作用在所有點上，導致它們的線性動量發生變化。所以我們有
方程的右側可以轉換為對剛體質量的積分：
矢量r表示剛體上各點在一定參考系中的位置矢量。
請注意，質心（質心）定義如下：
(下標cm代表質量)
所以我們有：
最后我們得出結論：剛體的線動量是剛體的質量與其質心線速度的乘積。 這個結論表明，在考慮剛體直線運動時，只需要考慮質心的直線運動即可。
歐拉第一定律指出，剛體的線性動量的變化率等于其上的外力：
顯然，線速度的導數就是線加速度，因此歐拉第一定律也可以寫成如下形式。 （經過大量推導，結論與牛頓定律幾乎相同）
歐拉第二運動定律
歐拉第二定律描述了剛體的角運動 ( ) 與其所經歷的力矩（力）之間的關系。 扭矩這個概念相信大家都很熟悉。 當力作用時，它相對于另一點O有一個力臂。力臂與力的叉積就是力矩。 （扭矩是矢量，不是標量，方向指向物體旋轉的方向。把這個關系記錄為叉積，理解會清晰很多！還有，注意叉積的順序）
與線動量類似，我們還引入角動量（ ）的概念：質點相對于某一固定點的角動量等于其質量與角速度的乘積。 顯然，角速度（相對于該固定點）等于該固定點到粒子的位置向量與粒子的線速度（相對于該固定點）的叉積。
那么角動量可寫為：
從牛頓定律 F = ma 出發，將方程兩邊與位置向量叉乘可得：
所以我們可以得到類似于“物體線動量的變化等于對其施加的外力”的結論：物體的角動量的變化率等于其受到的扭矩，即
現在，我們再次需要將這個結論擴展到由無數集合組成的剛體； 這部分比第一定律的推導麻煩一點。
首先我們需要推導剛體角動量的表達式，仍然將其視為無限集，則有
請注意歐拉運動定律，我們用角速度和位置矢量的叉積代替了線速度。 對于剛體來說，剛體上每一點的角速度都是相同的，所以我們可以把它放在求和之外。 將上面的方程寫成體積積分，我們有：
上圖中p上方的小尖頭稱為叉積算子（Cross）。 該運算符將兩個向量的叉積轉換為矩陣乘法向量運算。對于 3×1 向量，我們有
這里，我們將上圖積分方程中括號[]內的部分定義為慣性張量I：
關于慣性張量，限于篇幅，我們不再詳細討論。最終，我們得到剛體的角動量表達式為
與力是線性動量的變化率類似，剛體所經歷的扭矩 ( ) 定義為剛體的角動量的變化率。 為了找到扭矩、角速度和角加速度之間的關系，我們可以求出上式兩邊的導數：
dw/dt顯然是剛體的角加速度，但是dI/dt是什么呢？ 它是張量對時間的導數，不一定等于0！ 我們知道，張量是剛體上各點相對于靜止參考系的位置向量進行一定運算后的體積積分。 這些位置向量隨著剛體的旋轉而旋轉； 類似地歐拉運動定律，一點的線速度等于角速度，對位置向量求叉積，可得：
（不是嚴格推導！只是一種理解方式。）
最后我們得到
用表格總結剛體動力學：
牛頓歐拉法推導機械臂動力學
在花了這么多篇幅詳細推導剛體動力學的歐拉運動方程之后，我們終于可以看看機械臂的動力學了。 解決機器人手臂動力學的最終目標是，如果我們需要控制機器人沿著某個軌跡運動（不要忘記軌跡是位置與時間的函數），需要多大的扭矩（旋轉關節）或力（平移關節）關節）是由每個關節的驅動器施加的？ 聯合的）。
用牛頓歐拉方法推導機械臂的動力學，需要兩個步驟：第一步是“速度和加速度的前向傳遞（ ）”：從基點開始，依次計算每個環節的速度和加速度，所有到終點執行器的方式； 齊次序列為“逆傳力（·）”：從末端執行器所受的外力出發，反算出各關節的扭矩/力。 牛頓-歐拉推導機器人手臂動力學的方法是一種遞歸算法。
首先，查看連桿的角速度。 每個連桿的角速度等于前一個連桿的角速度加上其關節旋轉引起的角速度（對于平移關節，此項為0）； 據此，我們可以得到連桿角速度的傳遞公式。 通過對公式兩邊求導，我們可以進一步得到角加速度的傳遞公式。
其中 θ 是關節位置（旋轉關節的角度），Z 是關節的旋轉軸。 注意，上面的公式并沒有表明每個向量使用的幀。 在實際計算中，需要使用旋轉矩陣將不同參考系中的向量映射到同一參考系中。
對于線速度，每個連桿的線速度等于前一個連桿（質心）的線速度、前一個連桿的旋轉引起的線速度和平移關節的線速度之和。 對方程兩邊求導即可得出線性加速度的傳遞公式。
其中d是關節位置（平移關節的平移位置），Z是關節平移方向，p是從前一個連桿的質心到當前連桿的位置向量。
有了速度和加速度的傳遞公式，我們就可以根據歐拉運動方程很容易計算出各連桿的慣性力和轉動慣量：
現在我們來分析每個連桿上的應力。 從牛頓第三定律我們知道，力的作用是相互的，所以我們可以用fi來表示每個連桿對前一個連桿施加的力，用ni來表示它所受到的力矩。
如圖所示，我們有
那么每個關節的扭矩/力是
一張圖總結了這個復雜的過程（對于六自由度機械臂）：
我們的標題圖概念化了這個過程：
一個簡單的例子
為了讓大家更好地理解牛頓歐拉遞歸法的求解過程（也更好地理解這個方法有多么復雜），這里舉一個簡單的例子——一只只有一個旋轉關節的機械臂。
其中，連桿長度為l，質心位于l/2處。
階段，我們可以找到速度、加速度和慣性力。 注意，式中的s1表示sinθ1，c1表示cosθ1，g是重力加速度。
階段，我們可以發現
最后我們得到
牛頓歐拉法的思想非常直觀，過程也非常漫長和復雜。 在下一篇文章中，CC將為您講述少一點簡單粗暴多一點優雅智能的拉格朗日方法。
