然而，這種思維在定義點(diǎn)、線、面時(shí)會產(chǎn)生問題。 畢竟，如果給你一個(gè)點(diǎn)/線/面，你就不能直接用它做任何事情。 如果單獨(dú)放置一個(gè)點(diǎn)/線/面，它實(shí)際上會做什么？ 不。堅(jiān)持這個(gè)想法你會得到類似“點(diǎn)沒有長度”/“直線是只有長度的物體，可以在同一方向上無限延伸”或“直線是由點(diǎn)向同一方向的運(yùn)動。“軌跡”純粹是修辭性的描述。
此時(shí)你會覺得有些奇怪：但這不對啊！ 如果點(diǎn)/線/面什么都不是，那么我們在幾何學(xué)中做什么？ 幾何命題當(dāng)然不是純粹修辭意義上的結(jié)果。 仔細(xì)回顧一下，我們在幾何中討論的命題實(shí)際上是點(diǎn)/線/面之間的關(guān)系。 例如，我們需要在推理中要求
通過兩個(gè)不同的點(diǎn)，只有一條直線。
或要求
通過直線外一點(diǎn)，存在且只有一條與已知直線平行的直線。
我們的推理是通過這些所謂的公理來促進(jìn)的。 這些公理實(shí)際上描述了點(diǎn)/線/面之間的關(guān)系。 那么可以考慮的一個(gè)解決方案就是指定點(diǎn)/線/面之間的關(guān)系。 確定“點(diǎn)/線/面”代表什么。 也就是說，通過“調(diào)用相互關(guān)系R(A,B)、R(B,C)、R(C,A)(某一類型)滿足屬性P的對象實(shí)現(xiàn)A、B的定義什么叫一條線段， C”。 您可以看到，這無非是對原始解決方案的概括。
我們現(xiàn)在需要描述點(diǎn)/線/面之間的關(guān)系，例如“一點(diǎn)在一條直線上”/“兩條直線相交于一點(diǎn)”。 這時(shí)，幾何公理告訴我們這些關(guān)系滿足什么性質(zhì)，比如“通過不同的兩點(diǎn)，存在且只有一條直線”等等。所以我們可以對點(diǎn)/線/面進(jìn)行封裝和定義以及它們之間的關(guān)系，類似于以下方式：
幾何系統(tǒng)由以下部分組成：對象為A、B、C，關(guān)系為R(A,B)、R(B,C)、R(C,A)，使得這些關(guān)系滿足一系列公理P1 ，P2什么叫一條線段，...，Pn。
在幾何學(xué)中，這個(gè)框架被實(shí)現(xiàn)為幾何公理系統(tǒng)：希爾伯特公理_百度百科，'s。
當(dāng)然，有了這樣的定義之后，還需要驗(yàn)證這個(gè)定義是否良好，即公理之間的兼容性等（保證公理之間不互相矛盾）。 本系列內(nèi)容可參見《The of》（有中譯本《希爾伯特幾何基礎(chǔ)》）。
這個(gè)時(shí)候，很多讀者可能還是一頭霧水：說了這么多，你還沒告訴我什么是點(diǎn)/線/面呢！
這是一個(gè)很常見的問題。 而我實(shí)在無法告訴你什么是“點(diǎn)/線/面”。 一個(gè)原因是你定義的時(shí)候一層層往回走，總有一些原來的概念很難理解。 這是通過直接告訴您它是什么來實(shí)現(xiàn)的。 我們在數(shù)學(xué)中所做的就是告訴你這些概念之間的關(guān)系是什么。 有了概念之間的關(guān)系，就可以完成推理。 本質(zhì)上，對象本身“是什么”其實(shí)并不那么重要，重要的是它們之間的關(guān)系。 對于數(shù)學(xué)家來說，你把“空氣”/“土地”/“水”當(dāng)作“點(diǎn)”/“線”/“面”也沒有問題（大概），只要推理規(guī)則不變，數(shù)學(xué)大廈本身沒有影響。
當(dāng)然，并不是所有人都支持關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的形式主義。 還有人對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)提出了直覺主義等觀點(diǎn)。 然而，這可能不是一個(gè)數(shù)學(xué)問題（而是一個(gè)數(shù)學(xué)哲學(xué)問題）。 現(xiàn)在，我選擇不談?wù)撨@個(gè)問題。
（PS我開始刷屏，中途點(diǎn)了提交，尷尬了。）
