以下內(nèi)容大部分基于高中知識
電容電路中導(dǎo)體棒的運動是高中電磁感應(yīng)問題的經(jīng)典模型。 其加工方法技術(shù)性很強，但也比較固定。
一、傳統(tǒng)方法處理幾種基本情況 1、有初速度且無外力（即有初始電荷）
對于這種情況，可以使用直觀的動力學(xué)分析
ma=BiL
然后將等式兩邊求和。 這是一個經(jīng)典的技術(shù)。
sum_{}^{}{maDelta t}=sum_{}^{}{BLiDelta t}
請注意，加速度的積分是速度的變化安培力方向判斷，電流的積分是通過的電荷量。
mDelta v=BLDelta q
引入初始條件和最終條件
初始電量為0
BLv_{微}=U_{十};q_{十}=CU_{十}
組織良好
v_{End}=frac{mv_{0}}{m+B^{2}L^{2}C}
此時，導(dǎo)體棒的速度將趨于恒定值
2、有外力但無初速度。
這時就可以利用安培力的沖量來進行處理。 當然，動態(tài)分析的效果也是一樣的。
安培力脈沖
F_{安}=BiL
F_{安}Delta t=BLiDelta t
sum_{}^{}{}F_{安}Delta t=sum_{}^{}{}BLiDelta t
I_{安}=BLDelta q
所以對于導(dǎo)體棒的動量定理
mDelta v=-I_{安}+Ft
同樣的原因
Delta q=CDelta U=BLCDelta v
組織良好
Delta v=frac{F}{m+B^{2}L^{2}C}t
此時，導(dǎo)體棒將以勻加速直線運動。
3.有外力和初速度。
這種情況其實和第二種情況類似，但是在和朋友討論的時候，筆者注意到，此時在某些情況下，很容易在判斷安培力的方向時出現(xiàn)錯誤。
我們看下面的例子
如圖所示，有一條足夠長的光滑平行軌道，其間距為L，與水平方向的夾角為θ。 該軌道以電容器和固定值電阻器終止。 磁場強，磁感應(yīng)強度為B。將單刀雙擲開關(guān)接至a點。 質(zhì)量為 m 的導(dǎo)體棒，無論電阻如何，在軌道底部獲得初速度 v_{0} 并沿軌道向上移動。 當?shù)竭_最高點時，單刀雙擲開關(guān)與b點接通。 點后，一段時間后導(dǎo)桿返回軌道底部。 已知定值電阻的阻值為R，電容器的電容量為C，重力加速度為g，不包括軌道電阻。beg
(1) 當導(dǎo)體棒獲得初速度v_{0}時，電容器的充電量；
(2) 導(dǎo)體棒向上滑動過程中加速度的大小；
(3) 已知導(dǎo)體棒到達軌道底部的速度為v，求導(dǎo)體棒滑動過程中定值電阻產(chǎn)生的熱量和導(dǎo)體棒的運動時間。
我們直接看第二個子問題，是研究導(dǎo)體棒向上滑動的過程。 這個問題的關(guān)鍵是確定安培力的方向。 筆者在網(wǎng)上尋找答案時，發(fā)現(xiàn)了兩種不同的說法。
如果我們簡單地將導(dǎo)體棒視為電源，根據(jù)右手定則，電流的方向是逆時針方向，安培力的方向是向下的。
但這個判斷忽略了電容的放電
在每個小時間間隔內(nèi)，由于導(dǎo)體棒首先發(fā)生減速，因此電容器的電壓（前一時刻的動態(tài)電壓）大于導(dǎo)體棒切割磁力線時產(chǎn)生的電壓（前一時刻的動態(tài)電壓）。下一刻）。
U_{C}=BLv_{t}
U_{棒}=BLv_{t+Delta t}
由于減速
v_{t+Delta t}">v_{t}>v_{t+Delta t}
U_{棒}"> U_{C}>U_{棒}
因此，電容器的右極板為正極，電流方向為順時針方向，安培力方向為向上。
確定了安培力的方向后，就可以使用與上一類似的步驟來解決問題。
mgsintheta-BiL=ma
sum_{}^{}{}mgsinthetaDelta t-sum_{}^{}{}BLiDelta t=sum_{}^{}{}maDelta t
mgsinthetacdot Delta t-BLDelta q=mDelta v
又Delta q=CDelta U=BLCDelta v
組織良好
Delta v=frac{mgsintheta}{m+B^{2}L^{2}C}t
導(dǎo)體棒也作勻加速（減速）直線運動。
我們可以看到，上述三種情況得到的表達式的分母都是相同的，我們可以據(jù)此來驗證結(jié)果。
2、電容電路節(jié)能研究
在學(xué)習(xí)物理的過程中，我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)使用守恒方程進行計算可以避免很多復(fù)雜的分析。 下面我們介紹一下電容器的能量公式進行研究。
儲存在電容器中的能量
從電容器的定義來看
U=frac{q}{C}
電功率還有一個表達方式
Delta W=UDelta q
W=sum_{0}^{q}{frac{q}{C}Delta q}
這里可以簡單積分得到表達式，或者利用函數(shù)圖像面積的物理意義（類比彈簧彈性勢能公式）
W=frac{q^{2}}{2C}=frac{C}{2}U^{2}
我們以上面的第三種情況為例
以初始時刻為引力勢能零點，初始能量為
E_{1}=frac{1}{2}mv_1^{2}+frac{1}{2}CU_{1}^{2}+0
假設(shè)沿導(dǎo)軌方向的運動x，則此時的能量為
E_{2}=frac{1}{2}mv_2^{2}+frac{1}{2}CU_{2}^{2}+mgsintheta cdot x
且U=BLv； E_1=E_2
組織良好
2cdotfrac{mgsin theta }{m+B^2L^2C}cdot x=v_1^2-v_2^2
導(dǎo)體棒作勻加速度直線運動安培力方向判斷，其結(jié)果與動力推導(dǎo)相同。
我們可以發(fā)現(xiàn)，用能量守恒定律進入問題可以避免判斷安培力的方向，并且只需要無腦公式。 電容能量雖然是超等知識，但理解起來并不困難，可以作為驗證的手段。
3. 阻力不容忽視的非理想情況
高中時，我們討論過電容問題中忽略電阻的情況。 如果電阻不能忽略，簡單的微量元素法就會失敗。
我們將環(huán)路電阻等同于 R，然后我們就得到了整個環(huán)路的基爾霍夫方程
U_桿=Ri+u_C
代入 U_rod=BLv;u_C=frac{q}{C}
BLv=Ri+frac{q}{C}
對方程兩邊求導(dǎo)
BLfrac{dv}{dt}=Rfrac{di}{dt}+frac{1}{C}frac{dq}{dt}
從 i=frac{dq}{dt}
BLfrac{dv}{dt}=Rfrac{di}{dt}+frac{1}{C}i (star)
還有動力學(xué)方程
ma=F-BiL
寫成微分形式
mfrac{dv}{dt}=F-BLi
同時 star 表達式消除了包含 v 的項
mRCfrac{di}{dt}+(m+B^2L^2C)i-BLCF=0
frac{di}{dt}+frac{m+B^2L^2C}{mRC}i=frac{BLF}{mR} (starstar)
這是使用常變分法的一階線性微分方程
frac{di}{i}=-frac{m+B^2L^2C}{mRC}dt
lni=-frac{m+B^2L^2C}{mRC}t+
i=cdot e^{-frac{m+B^2L^2C}{mRC}t}
i=u(t)cdot e^{-frac{m+B^2L^2C}{mRC}t}
\frac{di}{dt}=u^{'}(t)cdot e^{-frac{m+B^2L^2C}{mRC}t}-frac{m+B^2L^ 2C}{mRC}u(t)cdot e^{-frac{m+B^2L^2C}{mRC}t}
代入starstar公式，可得
frac{du}{dt}=frac{BLF}{mR}cdot e^{frac{m+B^2L^2C}{mRC}t}
u(t)=frac{BLCF}{m+B^2L^2C}cdot e^{frac{m+B^2L^2C}{mRC}t}+
所以
i=cdot e^{-frac{m+B^2L^2C}{mRC}t}+frac{BLCF}{m+B^2L^2C}
當t=0時，電容沒有充電（需要一個充電過程），所以有
i_0=frac{BLv_0}{R}
可確定常數(shù)
=frac{BLv_0}{R}-frac{BLCF}{m+B^2L^2C}
返回 mfrac{dv}{dt}=F-BLi
frac{dv}{dt}=frac{F}{m}-frac{BL}{m}(cdot e^{-frac{m+B^2L^2C}{mRC}t}+ frac{BLCF}{m+B^2L^2C})
a=frac{F}{m+B^2L^2C}-frac{BL}{m}cdot e^{-frac{m+B^2L^2C}{mRC}t}
當t很大時，加速度趨于恒定值。 注意，這個固定值是忽略阻力時的加速度。
不可缺少的
v=v_0+frac{F}{m+B^2L^2C}t+frac{BLCR}{m+B^2L^2C}cdot e^{-frac{m+B^2L^2C}{ mRC}t}
當R很小時，指數(shù)趨于負無窮大，指數(shù)函數(shù)值趨于0，這是勻加速的情況，這與忽略阻力的計算一致。