【學習目標】
1、會推論公式
2、掌握公式，并能靈活應用
【要點梳理】
要點一、勻變速直線運動的位移與速率的關系
按照勻變速運動的基本公式消掉時間t，得。
即為勻變速直線運動的速率——位移關系。
要點演繹：
①該公式是由勻變速直線運動的兩個基本關系式推論下來的，由于不含時間，所以若所研究的問題中不涉及時間時借助該公式可以很便捷，應優先采用。
②公式中四個矢量a、x須要規定統一的正方向。
要點二、勻變速直線運動的四個基本公式
(1)速率隨時間變化規律：
(2)位移隨時間變化規律：
(3)速率與位移的關系：
(4)平均速率公式：
要點演繹：
運用基本公式求解時注意四個公式均為矢量式，應用時，要選定正方向。公式(1)中不涉及x，公式(2)中不涉及，公式(3)中不涉及t，公式(4)中不涉及a，捉住各公式特性，靈活選定公式求解。共涉及五個量，若曉得三個量，可選定兩個公式求出另兩個量。
要點三、勻變速直線運動的三個結論
要點演繹：
(1)在連續相鄰的相等的時間(T)內的位移之差為一恒定值，即△x＝aT2(又稱勻變速直線運動的判斷式)。
推證：設物體以初速v0、加速度a做勻加速直線運動，自計時起時間T內的位移
在第2個時間T內的位移
即△x＝aT2。進一步推證可得
②x2-x1＝x3-x2＝…＝xn-xn-1，據此可補上紙帶上缺乏的厚度數據。
(2)某段時間內中間時刻的瞬時速率等于這段時間內的平均速率
推證：由vt＝v0+at，①
知經時間的瞬時速率
由①得，代入②中，得
(3)某段位移內中間位置的瞬時速率與這段位移的初、末速率v0與vt的關系為
推證：由速率－位移公式，①
將①代入②可得，即．
要點四、初速率為零的勻加速直線運動的幾個比列式
要點展現：
初速率為零的勻加速直線運動是一種特殊的勻變速直線運動，它自己有著特殊的規律，熟知這種規律對我們解決好多運動學問題很有幫助。
設以t＝0開始計時，以T為時間單位，則
(1)1T末、2T末、3T末、……瞬時速率之比為v1：v2：v3：……＝1：2：3：……。
可由vt＝at，直接導入
(2)第一個T內，第二個T內，第三個T內，……，第n個T內的位移之比為：x1：x2：x3：xn＝1：3：5：……：(2n-1)。
推證：由位移公式得，
可見，x1：x2：x3：……：xn＝1：3：5：……：(2n-1)。
即初速為零的勻加速直線運動，在連續相等的時間內位移的比等于連續質數的比。
(3)1T內、2T內、3T內、……、位移之比為：，
可由公式直接導入。
(4)通過連續相同的位移所用時間之比
推證：由知，
通過第二段相同位移所用時間
同理：，
則。
要點五、紙帶問題的剖析方式
(1)“位移差法”判斷運動情況，設時間間隔相等的相鄰點之間的位移分別為x1、x2、x3……。
①若x2-x1＝x3-x2＝……＝＝0，則物體做勻速直線運動。
②若x2-x1＝x3-x2＝……＝＝△x≠0，則物體做勻變速直線運動。
(2)“逐差法”求加速度，按照x4-x1＝x5-x2＝x6-x3＝3aT2(T為相鄰兩計數點的時間間隔)，有
之后取平均值，即
該公式使所給數據全部得到借助，以提升確切性。
要點展現：①如果不用“逐差法”求，而用相鄰的x值之差估算加速度，再求平均值可得：
比較可知，逐差法將紙帶上x1到x6各實驗數據都借助了，而后一種方式只用上了x1和x6兩個實驗數據，實驗結果只受x1和x6兩個數據影響，算出a的碰巧偏差較大。
②其實從上式可以看出，逐差法求平均加速度的實質是用(x6+x5+x4)這一大段位移除以(x3+x2+x1)這一大段位移，這么在處理紙帶時，可以檢測出這兩大段位移代入上式估算加速度，但要注意分母(3T)2而不是3T2。
(3)頓時速率的求法
在勻變速直線運動中，物體在某段時間t內的平均速率與物體在這段時間的中間時刻時的瞬時速率相同，即．所以，第n個計數點的瞬時速率為：。
(4)“圖象法”求加速度，即由，求出多個點的速率，畫出v-t圖像，直線的斜率即為加速度。
【典型例題】
類型一、公式的應用
例1、一列從北站開出的列車，在平直軌道上做勻加速直線運動，已知這列列車的寬度為l，當列車頭經過某路標時的速率為v1，而車尾經過這個路標時的速率為v2，求：
(1)火車的加速度a；
(2)火車中點經過此路標時的速率v；
(3)整列列車通過此路標所用的時間t。
【答案】(1)(2)(3)
【解析】火車的運動情況可以等效成一個質點做勻加速直線運動，某一時刻速率為v1，前進位移l
(1)由勻變速直線運動的規律得，則列車的加速度為．
(2)列車的前一半通過此路標時，有物理實驗小車加速度，
列車的后一半通過此路標時，有，
所以有，故．
(3)列車的平均速率，故所用時間．
【總結升華】對于不涉及運動時間的勻變速直線運動問題的求解，使用可大大簡化解題過程。
舉一反三
【變式1】在風平浪靜的水面上，有一戰斗機要去執行一項緊急飛行任務，而民航航母的彈射系統出了故障，未能在短時間內修補．已知客機在跑道上加速時物理實驗小車加速度，可能形成的最大加速度為5m/s2，起飛速率為50m/s，跑道長為100m．經過估算發覺在這種條件下客機根本難以安全起飛．民航航母不得不在水面上沿起飛方向運動，進而使客機獲得初速率，達到安全起飛的目的，這么民航航母行駛的速率起碼為多大?
【答案】
【解析】若客機從靜止起飛，經過跑道100m后，速率為v．
由v2＝2ax．知．
故民航航母要沿起飛方向運動．
取民航航母為參考系，，
故民航航母行駛的速率起碼為．
【變式2】某客機著陸時的速率是216km/h，此后勻減速滑行，加速度的大小是2m/s2。機場的跑道起碼要多長能夠使客機安全地停出來？
【答案】900m
類型二、勻變速直線運動公式的靈活運用
例2、一個做勻加速直線運動的質點，在連續相等的兩個時間間隔內，通過的位移分別是24m和64m，每一個時間間隔為4s，求質點的初速率和加速度．
【答案】a＝2.5m/s2，vA＝1m/s
【解析】勻變速直線運動的規律可用多個公式描述，因此選擇不同的公式，所對應的解決方式也不相同．
解法一：(基本公式法)
畫出運動過程示意圖，如圖所示，因題目中只涉及位移與時間，故選擇位移公式：
將x1＝24m、x2＝64m、t＝4s代入上式解得：a＝2.5m/s2，vA＝1m/s．
解法二：(用平均速率公式)
連續的兩段時間t內的平均速率分別為：
B點是AC段的中間時刻，則，，
得vA＝1m/s，vC＝21m/s，
解法三：(用△x＝aT2法)
由△x＝aT2，得．
再由，解得．
【總結升華】(1)運動學問題的求解通常均有多種解法，進行一題多解訓練可以熟練地把握運動學規律，增強靈活運用知識的能力．從多種解法的對比中進一步明晰解題的基本思路和方式，進而提升解題能力．
(2)對通常的勻變速直線運動問題，若出現相等的時間間隔問題，應優
先考慮用判斷式△x＝aT2求解，這些解法常常更簡捷．
舉一反三
【變式1】一個足球在湖面上滑行，依次通過寬度都是L的兩段距離，并繼續往前運動，它通過第一段距離的時間為t，通過第二段距離的時間為2t，假如足球在湖面上的運動可看做勻變速直線運動，求足球在第一段距離末時的速率．
【答案】
【解析】方法一：由題意可得，足球做勻減速運動，其運動簡圖如圖所示．以足球過A點為起始時刻、起始點，設A、B、C三點的速率分別為v0、v1、v2，由得
從A到B：，①
從B到C：，②
從A到C：，③
聯立①②③式解得．
技巧二：按照t知：
AB段中間時刻速率，BC段中間時刻速率，
這兩個時刻相隔時間為，則勻減速運動加速度．
據公式，有．
將a代入得．
【變式2】例題、跳傘運動員做低空跳傘演出，他從224m的高空離開客機開始下落，最初未打開降落傘，自由下落一段距離打開降落傘,運動員以12.5m/s2的加速度勻減速增長，為了運動員的安全，要求運動員落地的速率不得超過5m/s(g=10m/s2)．求：運動員打開降落傘時，離地面的高度起碼為多少？
【答案】99m
【變式3】火車以速率v1勻速行駛，司機發覺前方同軌道上相距s處有另一列車沿同方向以速率v2(相對于地面，且v1>v2)做勻速運動，司機立刻以加速度a緊急制動，要使兩車不翻車，a應滿足哪些條件?
【答案】
類型三、初速率為零的勻加速直線運動的幾個比列式的應用例3、一滑塊自靜止開始從斜面頂端勻加速下降，第5s末的速率是6m/s，試求：(1)第4s末的速率；
(2)運動后7s內的位移；
(3)(3)第5s內的位移．
【答案】(1)(2)(3)5.4m
【解析】物體的初速率v0＝0，且加速度恒定，可用推測求解．
(1)由于v0＝0，所以，即，故v4:v5＝4:5．
第4s末的速率．
(2)由于v0＝0，v5＝6m/s，則加速度，
所以7s內的位移．
(4)由。第5秒內的位移是5.4m。
舉一反三
【變式1】一物體沿斜面頂端由靜止開始做勻加速直線運動，最初3s內的位移為x1，最后3s內的位移為x2，已知x2-x1＝6m；x1:x2＝3:7，求斜面的總長．
【答案】12.5m
【解析】由題意知，物體做初速率等于零的勻加速直線運動，相等的時間間隔為3s．
由題意知，x2-x1＝6m，解得x1＝4.5m，x2＝10.5m．
因為連續相等時間內位移的比為1：3：5：…：(2n-1)，
故xn＝(2n-1)x1，可知10.5＝4.5(2n-1)，解得。
又由于，所以斜面總長：。
【總結升華】切忌覺得物體沿斜面運動了6s，本題中前3s的后一段時間與后3s的前一段時間是重合的。
類型四、紙帶問題的處理
例4、在用接在50Hz交流電源上的打點計時器測定貨車做勻加速直線運動的加速度的實驗中，得到如圖所示的一條紙帶，從比較清晰的點開始標計數點0、1、2、3、4…，其中每兩個計數點間還有4個點未畫出，量得0與1兩計數點間的距離，3與4兩計數點間的距離，則貨車在3與4兩計數點間的平均速率為m/s，貨車的加速度為m/s2。(估算結果均保留兩位有效數字)
【答案】0.49；0.62
【解析】由于每相鄰兩個計數點間還有4個點沒有畫出，所以相鄰的計數點間的時間間隔T=0.1s，
按照平均速率的定義式得：
貨車在3與4兩計數點間的平均速率，
按照勻變速直線運動的結論△x=aT2，有：
所以解得：，故答案為：0.49，0.62。
【總結升華】用逐差法求加速度，遇到質數個位移，如本題中只有x1至x3五個位移，就除去中間的一個位移而求解．
舉一反三
【變式】打點計時器使用的交流電周期為T=0.02s．小王朋友在正確操作實驗的情況下獲得了一條紙帶，如圖所示，其中A、B、C、D、E每兩點之間還有4個點沒有標出，按照紙帶所提供的數據，求：貨車的加速度a=m/s2，貨車經過C點時的速率Vc=m/s(結果保留兩位有效數字)。
【答案】0.62；0.21
【解析】其中A、B、C、D、E每兩點之間還有4個點沒有標出，所以相鄰的計數點間的時間間隔T=0.1s，
按照勻變速直線運動的結論公式△x=aT2可以求出加速度的大小，
得：，
按照勻變速直線運動中時間中點的速率等于該過程中的平均速率，可以求出打紙帶上C點時貨車的瞬時速率大小．