§3 圓周運動 一、描述圓周運動的物理量： 1.線速度： （1）大小：v=s/t（s為時間t內走的圓弧的長度） （2）方向：沿圓的切線方向，不斷地變化 （3）物理意義：描述質點沿圓周運動的速度 2.角速度： （1）大小：?=Φ/t（Φ為半徑在時間t內轉過圓心的角度） （2）物理意義：描述質點繞圓心旋轉的速度 3.周期T、頻率f： 作圓周運動的物體轉完一圈所需的時間叫周期；單位時間內它繞圓心轉的圈數叫頻率。即周期的倒數。 4.v、ω、T、f的關系 注：ω、T、f，一個量確定了，另兩個量也就確定了，而且v還與r有關。 5.向心加速度a Ⅰ 大小：a=v2/r=?2r=4?2f2r=4?2r/T2 Ⅱ 方向：始終指向圓心，時刻在變化 Ⅲ 物理意義：描述線速度方向變化的快慢。 二、勻速圓周運動 1.特點：勻速圓周運動是線速度不變的運動，因而它的角速度、周期和頻率都是恒定的，物體受到的合外力提供的是向心力。 2.質點做勻速圓周運動的條件：合外力大小恒定，其方向始終垂直于速度方向。 課堂練習： 1.對于作勻速圓周運動的物體，下列哪個物理量是恒定的（ ） A.速度 B.加速度 C.角速度 D.在相同時間內的位移 C 2.勻速圓周運動的特點是（ ） A.速度不變，加速度不變 B.速度不變，加速度變化 C.速度變化，加速度不變 D.速度和加速度的大小不變，但方向不斷變化 D 3.下列關于物體A、B作勻速圓周運動的說法，正確的是（ ） A.如果它們的線速度相等，它們的角速度也必然相等。B.如果它們的角速度相等，它們的線速度也必然相等。C.如果它們的周期相等，它們的角速度也必然相等。D.如果它們的周期相等，它們的線速度也必然相等。C. 例題講解 【例1】如圖所示的裝置中，三個輪子的半徑分別為r、2r、4r。 點b到圓心的距離為r。求圖中a、b、c、d點的線速度之比、角速度之比、加速度之比：abcd。【例2】如圖所示，為自行車燈供電的小型發電機，其上端有一個半徑為r0=1.0cm的小摩擦輪，小輪與自行車車輪邊緣接觸。
當車輪轉動時，摩擦力帶動小輪轉動，從而為發電機提供動力。自行車車輪的半徑為R1=35cm，小齒輪的半徑為R2=4.0cm，大齒輪的半徑為R3=10.0cm。求大齒輪的轉速n1與摩擦小輪的轉速n2的比值。（假定摩擦小輪與自行車車輪之間無相對滑動） 大齒輪 小齒輪 車輪 小發電機 摩擦小輪 鏈條 【例三】汽車在一條寬闊的道路上勻速行駛，司機突然發現前方有一堵墻，把路徹底堵住了。為了避免與墻相撞，司機是應該急剎車還是立即轉彎？試定量分析并說明原因。 【例四】如圖4-3-1所示，一個小球用一條細繩通過桌子上一個光滑的小孔與物體B、C相連。 小球在光滑水平桌面上能做勻速圓周運動。若將B、C之間的細繩剪斷，當A球重新達到穩定狀態時，則A球的（ ） A.運動半徑變大 B.速度變大 C.角速度變大 D.周期變大 【例5】如圖所示，一圓柱形房屋天花板中央懸掛一根長度為l的細繩，繩子下端懸掛一個質量為m的小球。已知繩子能承受的最大拉力為2mg。小球在水平面內做圓周運動，當速度逐漸增大直至繩子斷掉時，小球剛好以速度v2= 落到墻角。求（1）繩子斷掉瞬間小球的速度v1；（2）圓柱形房屋的高度H與半徑R。 III. 牛頓運動定律在圓周運動中的應用（圓周運動動力學問題） 1.向心力 （1）大小： （2）方向： 始終指向圓心，且隨時變化 注：“向心力”是一種作用力。
任何力，或若干個力的合力，或某一力的某個分力，只要它的作用是使物體做圓周運動，都可以看作向心力。“向心力”不一定是物體所受的合外力。對做勻速圓周運動的物體，向心力就是物體所受的合外力，它始終指向圓心。對做變速圓周運動的物體，向心力只是物體所受的合外力在徑向的一個分力，合外力的另一個分力是沿圓周切線方向的，它改變了速度的大小。2、處理方法：一般來說，當做圓周運動的物體所受的合力不指向圓心時，可以沿徑向和切線方向正交分解，沿徑向的分力是向心力，它只改變速度的方向，不改變速度的大小； 沿切線方向的分力為切向力，它只改變速度的大小而不改變速度的方向。相應的向心加速度描述的是速度方向改變的快慢，切向加速度描述的是速度大小改變的快慢。物體做圓周運動的向心力與向心加速度的關系也遵循牛頓第二運動定律：Fn=man。寫方程時，根據物體受力分析，把外界提供給物體的合外力寫在等式左邊，把物體所需的向心力寫在等式右邊（可以采用多種形式）。如果沿徑向的合外力大于做圓周運動所需的向心力，物體就做向心運動，半徑減小；如果沿徑向的合外力小于做圓周運動所需的向心力，物體就做離心運動，半徑增大。
3.處理圓周運動動力學問題的一般步驟： （1）確定研究對象，進行受力分析； （2）建立坐標系，通常以質點所在位置作為坐標系原點，一條軸與半徑重合； （3）利用牛頓第二定律和平衡條件，建立方程，并求解。 4.下列關于向心力的說法中，正確的是（） A.物體因做圓周運動，產生向心力。 B.做圓周運動的物體，除受到其他力的作用外，還受到向心力的作用。 C.向心力不改變做圓周運動物體的速度大小。 D.做勻速圓周運動的物體的向心力是恒定的。 C 課堂練習 4、幾種特殊情況 （1）圓錐擺θ 【例五】一小球在半徑為R的光滑半球內，在水平面內做勻速圓周運動。試分析圖中θ（球與半球心連線與垂直方向的夾角）與線速度v與周期T的關系（球的半徑比R小得多）。 圓錐擺是典型的勻速圓周運動，運動軌跡在水平面內。其特點是物體受到的重力與彈力的合力作為向心力，向心力的方向是水平的，也可以說彈力的水平分力提供了向心力（彈力的垂直分力與重力是互相平衡的力）。本題的分析方法和結論同樣適用于圓錐擺、火車轉彎、飛機在水平面內勻速圓周飛行等水平面內勻速圓周運動問題。 共同點是向心力都是由重力與彈力的合力提供的，向心力的方向都是水平的。 （2）垂直平面內圓周運動最高點處受力的特點及分類 此類題型的特點是：由于機械能守恒，物體做圓周運動的速度是不斷變化的，在最高點處物體的速度最小，在最低點處速度最大。
在物體的最低點，向心力向上，而重力向下，所以彈力一定向上，且大于重力；在最高點，向心力向下，重力也向下，所以彈力的方向不能確定，需要討論三種情況。 ① 彈力只能向下，如繩子拉著球或內軌。此時； ② 彈力只能向上，如汽車過橋。此時； ③ 彈力既可以向上又可以向下，如管子在里面旋轉（或桿連接球，環繞過珠子）。此時速度v可以取任意值。 注意：此時物體所受的彈力一定向下；此時物體所受的彈力一定向上；此時物體所受的彈力恰好為零。 課堂練習 1、雜技演員表演水流星節目時，盛滿水的杯子在垂直平面內做圓周運動。 當杯子升到最高點的時候，里面的水不會流出來。 這是因為（ ） A.水處于失重狀態，不受重力影響 B.水受到平衡力的作用，合力為0 C.水受到的合力提供了向心力，使水做圓周運動 D.杯子比較特殊，杯底對水有吸引力 C * * 第四章 曲線運動萬有引力定律 教學大綱要求 知識網絡 單元塊 1.運動的合成與分解I 2.曲線運動質點的速度是沿軌道切線方向運動，必有加速度I 3.水平拋物運動II 4.勻速圓周運動、線速度與角速度、周期、圓周運動的向心加速度a=/RII 5.萬有引力定律及其應用、人造衛星的運動（限于圓形軌道）II 6.宇宙速度一 考試要求 一、知道所列知識的內容與意義，并能識別并直接運用到有關問題中。 二、理解所列知識的確切含義和與其他知識的聯系；能進行敘述和解釋，并能將其應用于實際問題的分析、綜合、推理和判斷。 考試要求 曲線運動條件： F 總速度與初速度v0不在同一直線上 特例方向：沿切線方向 水平拋射運動 勻速圓周運動條件：只受到重力作用，初速度為水平 研究方法：運動的合成與分解定律：水平方向的勻速直線運動； 垂直方向的自由落體運動 條件：f 總與初速度v0垂直 特點：v、a大小不變，但方向時刻變化 描述：v，ω，T，a，n，f 萬有引力定律 天體運動 地球衛星 知識網絡 運動的組成與分解 水平拋射運動 圓周運動 萬有引力定律及其應用 單元塊§1 運動的組成與分解 一、曲線運動 1.曲線運動的條件： 作用在質點上的合外力（或加速度）的方向與其速度方向不在同一直線上。
v xy y x x 與v在一條直線上一列火車做勻變速直線運動駛來，改變速度的大小， y垂直于v，改變v的方向。 習題 1.物體在力F1，F2，F3，……，Fn的合力作用下，做勻速直線運動。若突然撤去F2，物體（ ） A.可能做曲線運動 B.可能繼續做直線運動 C.必須沿F2方向做直線運動 D.必須沿F2的反方向做勻速減速直線運動 AB 2.曲線運動的特點： 曲線運動的速度和方向都必須改變，所以是變速運動 3.曲線運動的類型： （ ）當物體所受的合外力為恒定力（大小不變，方向不變）時，物體作勻速變速曲線運動，如水平拋物運動。 （２）如果物體所受的合力大小恒定，且始終垂直于它的速度方向，物體就做勻速圓周運動（變加速度曲線運動） 習題２、下列關于曲線運動的描述，哪些是正確的？（） A.曲線運動可以是勻速運動 B.曲線運動一定是變速運動 C.曲線運動可以是勻速變速運動 D.曲線運動的加速度可以為0ABC 二、運動的合成與分解 1.由已知分運動求合成運動，叫運動的合成 本質：位移、速度、加速度的合成與分解都遵循平行四邊形法則 2.由已知運動求分運動，叫運動的分解。解題時，要按實際的“效應”分解，即正交分解。 3.合成運動與分運動的特點：（1）等時性：合成運動所需的時間等于各相應分運動所需的時間。（2）獨立性：一個物體可以同時參加幾種不同的分運動，各分運動獨立進行，互不影響。4.物體的運動狀態由初速度狀態（v0）和受力條件（）決定。這是處理復雜運動的力與運動的觀點。（1）存在中間參考物體的問題：例如人在扶梯上行走，人相對于地面的運動可轉化為兩個子運動：人相對于梯子的運動和梯子相對于地面的運動。
練習3：電梯以加速度a垂直上升運動，電梯天花板上一個螺母突然松動，從天花板上掉下來，此時螺母相對地面的加速度為（）Ag-aB.g+aC.aD.gD （2）勻加速曲線運動問題：可由初速度（v0）和受力條件建立直角坐標系，把復雜運動轉化為坐標軸上的簡單運動來解決問題。 5.運動的性質與軌跡 （1）物體運動的性質是由加速度決定的（加速度為零時，物體靜止或做勻速運動；加速度恒定時，物體做勻速加速運動；加速度變化時，物體做變加速度運動）。 （2）物體運動的軌跡（直線或曲線）是由物體的速度和加速度方向的關系決定的（速度與加速度在同一直線上，物體做直線運動；速度與加速度成一定角度，物體做曲線運動） 兩條互為角度的直線運動的合成運動是直線運動還是曲線運動？ ★由它們的合成速度與合成加速度是否共線決定 v1 v a1a ov2a2 如圖所示，常見的有： （1）a=0：勻速直線運動或靜止。 （2）a為常數：性質為勻速加速運動，分為： （1）v與a方向相同，勻速加速直線運動； （2）v與a方向相反，勻速減速直線運動； ③v與a成一定角度，勻速加速曲線運動（軌跡在v與a之間，與速度v方向相切，方向逐漸接近a方向，但不可能達到）。
）CUa 變化：性質為變加速度運動。和簡諧運動一樣，加速度的大小和方向都隨時間而變化。 練習4：關于運動的合成與分解，下列說法正確的是（） A.兩段直線運動的合成運動必定是直線運動 B.兩段勻速直線運動的合成運動必定是直線運動 C.兩段勻速加速直線運動的合成運動必定是直線運動 D.兩段初速度為0的勻速加速直線運動的合成運動必定是直線運動 BD 練習5：關于兩段初速度為0，且互成一定角度的勻速加速直線運動的合成運動，下列說法正確的是（） A.必定是直線運動 B.必定是拋物線運動 C.可能是直線運動，也可能是拋物線運動 D.以上說法都不正確 C 6.過河問題如右圖所示。 設v1表示水速，v2表示船速，則： ①渡河時間僅由v2垂直于岸邊的分量v⊥決定，即t=d/v⊥，與v1無關。 所以當v2⊥岸邊時，渡河時間最短，最短時間為t=d/v2，也與v1無關。 ②渡河距離由實際運動軌跡方向決定，當v1＜v2時，最短距離為d；當v1＞v2時，最短距離為v1 d/v2（如右圖）。 v2 v1 v1 v2 v 練習6： 河流寬300m，水流速為3m/s，船在靜水中的速度為5m/s。 思考： （1）最短時間渡河需要多長時間？ 能到達對岸的什么位置？（2）??要用最短的距離渡河，船頭應該指向哪里？要花多長時間才能渡河？ 7.關節運動問題是指物體拉動繩索（桿）或繩索（桿）拉動物體的問題。
由于高中學習的繩子是不可伸長，而桿是不可伸長可壓縮的，即繩子或桿的長度不會改變，所以解題原理為：把物體實際速度分解為垂直于繩（桿）方向和平行于繩（桿）方向兩個分速度，按照沿繩（桿）方向分速度大小相等來求解。 練習7：如圖所示，汽車A以速度v1拉著汽車B前行，汽車B的速度為v2。汽車A和汽車B都在水平面上運動。 求v1：v2 A Bα v1 §2 水平拋射運動規律及應用 一、水平拋射運動 1、水平拋出的物體僅在重力作用下的運動。 2、水平拋射運動是加速度為g的勻加速曲線運動，其運動軌跡是拋物線的一部分。 二、 水平拋射運動的研究方法 水平拋射運動可以分解為水平方向的勻速直線運動和垂直方向的自由落體運動。 三、水平拋射運動規律 1.速度：水平、垂直分速度分別為vx=v0,vy=gt，則它在A點的合成速度為： 速度方向（與水平方向的夾角） 2.位移：水平位移與垂直位移分別為x=v0t，y=（1/2）gt２，故合成位移 位移方向（s與x軸的夾角） 思考：由速度和位移方向可知tan?=2tanα。請將速度v方向反方向延伸，與x軸交于B，你能得出什么結論？ 四、結論總結 1.運動時間：水平和垂直方向的兩個子運動都是獨立且等時的，因此運動時間即運動時間僅由高度h決定。 2、其射程為：由v0和t共同決定。 3、在△t時間內速度的變化量相等，即△v=g△t，且△v的方向為豎直向下，由此可見一列火車做勻變速直線運動駛來，水平拋射運動為勻加速直線運動。 3、將物體以速度v0水平拋出，當其豎直位移等于水平位移時，下列說法正確的是（） A.豎直分速度等于水平分速度 B.瞬時速度的大小為 C.運動時間為2v0/g D.運動的位移為五。 課堂練習： 1.關于水平拋射運動，下列說法正確的是（） A.水平拋射運動的軌跡為曲線，故水平拋射運動為變速運動。 B.水平拋射運動為勻變速曲線運動。 C.水平拋射運動的水平射程s僅由初速度v0決定。 v0越大，s越大。 D.水平拋射運動的落地時刻t由初速度v0決定，v0越大，t越大。 AB 2.物體做水平拋射運動，每秒的速度增量總是（ ） A.大小相等，方向相同 B.大小不等，方向不同 C.大小相等，方向不同 D.大小不等，方向相同 A BCD 4.一架飛機做勻速水平飛行，每隔1s從飛機上釋放出一個鐵球，一共釋放4個球，如果不考慮空氣阻力，這4個球（ ） A.它們在空中任何時候總是排列成拋物線，并且它們的落地點是等距的。 B.它們在空中任何時候總是排列成拋物線，并且它們的落地點是不等距的C.它們在空中任何時候總是排列在平面正下方的垂直直線上，且它們的落點間距相等。 D.它們在空中任何時候總是排列在平面正下方的垂直直線上，且它們的落點間距不相等。 C 六、例題說明 【例一】一水平運動的物體，在落地前的最后1秒內，其速度方向與垂直方向由60°變為45°，請問該物體被拋出時，其速度和高度各為多少？ 【例二】在研究水平投射物體運動的實驗中，用一張印有小方塊的紙來記錄其運動軌跡，小方塊的邊長為L=1.25cm。 設小球在水平拋射運動時的位置分別為a、b、c、d如圖4-2-3所示，那么小球在水平拋射運動時初速度的計算公式為v0=（用l，g表示），其值為。 （取g=9.8m/s2） 0.70m/s 分析 從圖中可以看出，a、b、c、d水平位移間隔相等，即各位置之間的時間間隔相等，設為t，設初速度為v0，則v0=2l/t。考慮物體從a到b，再從b到c的垂直運動，有： 聯立以上三個式子，可得： 因此，將數據代入解中可得v0=0.70m/st 另一種求法： 水平拋射物體在垂直方向做自由落體運動，在任意兩個連續相等時刻t內，其位移差相等。 ∴【例3】某宇航員站在某行星表面某一高度，水平拋出一個小球。經過時間t，球落至行星表面，測得拋出點與落地點的距離為L。若拋出時的初速度增大至2倍，則拋出點與落地點的距離為L。已知兩落地點在同一水平面上，行星半徑為R，萬有引力常數為G。求行星的質量M。【例4】一架飛機以恒定速度水平飛行，距離地面高度為H。飛行過程中，投放一枚炸彈，經過時間t，飛機落地后，飛行員聽到炸彈爆炸聲。設炸彈落地后立即爆炸，爆炸向四面八方的速度為v0，忽略空氣阻力，求飛機的速度v。 分析與解答 【解析】本題場景是水平拋射運動定律與萬有引力定律在探測星球質量中的綜合應用。地球上球體水平拋射運動定律可以應用于其他星球上的水平拋射運動，但是加速度不同。在水平拋射運動中，雖然從同一高度拋出的物體初速度不同，但是物體落到地面所需的時間是一樣的。由萬有引力定律我們可以知道哪些因素與加速度有關。加速度是連接水平拋射運動與萬有引力的橋梁。設拋點高度為h，第一次水平拋的水平范圍為x，則x2+h2=L2。 由水平拋射運動定律我們知道，當初速度增大到2倍時，它的水平射程也增大到2x，于是可得（2x）2+h2= 由上面兩個式子可得h= 設行星上的重力加速度為g留學之路，由水平拋射運動定律得h=1/2gt2 由萬有引力和牛頓第二定律可得GMm/R2=mg，式中m為小球的質量。 聯立以上各式可得 【解析】這是一道拋物線運動與聲學結合的題目，要把拋物線運動與聲音的傳播結合起來，需要把握時間t。 拋物線運動的時間：t1= 所以聲音的傳播時間為t2=t- t1=t- 聲音的傳播距離為 炸彈落地后，由幾何知識可知飛機的飛行距離為xs 【例五】一小物體以初速度v0從斜面上A點水平拋出，然后落在斜面上B點，已知斜面的傾角為θ，可忽略空氣阻力。求此運動過程中距離斜面最遠的距離s。 【例六】給定網高H、半場長度L、扣球點高度h，以及扣球點到網的水平距離s，求：水平扣球速度v的取值范圍。
【例7】一小球從傾斜角θ=30°的斜面頂端向下坡方向水平拋出，其初動能為E=6J。小球落到斜面上時的動能為E/。 七、曲線運動的一般研究方法 研究曲線運動的一般方法是正交分??解法。把復雜的曲線運動分解成兩個互相垂直方向的直線運動。通常以初速度或合外力方向為坐標軸進行分解。 七、曲線運動的一般研究方法 研究曲線運動的一般方法是正交分??解法。把復雜的曲線運動分解成兩個互相垂直方向的直線運動。通常以初速度或合外力方向為坐標軸進行分解。 [示例8]如圖所示，在垂直平面的Xoy坐標系統中，垂直的向上是沿平面的X軸的均勻的電場。小球的Et et e e e e v降低到X軸時的位置n。