1、會計學14角動量角動量守恒定理角動量角動量守恒定理【引入】為什么提出“角動量”概念？1rvmP2r問題一：兩個質點如下圖，以不同直徑的軌道轉動，動量大小相等，位移方向相同時連動量方向也相同，該怎樣區別兩個質點？vmrL0CvMp總總并且系統有機械運動，說明不宜使用動量來量度轉動物體的機械運動量。問題二：將一繞通過剛體的固定軸轉動的圓盤視為一個質點系，系統總動量為CM*引入與動量對應的角量角動量（動量矩）pL動量對參考點（或軸）求矩第1頁/共30頁一、相關概念1.質點的角動量()mopr定義：sin大小：pr
2、方向：服服從從右手臂手定定則則。組組成成的的平平面面，和和垂垂直直于于pryzmrporLp質點相對O點的矢徑第2頁/共30頁v質點的角動量的方向質點以角速率作直徑為的圓運動，相對圓心的角動量r2mrL的方向符合右手法則。1）從位矢轉向速率2）傾角大于180度L注意四指代表質點相對于0點的轉動趨勢，則大食指代表角動量的方向【特別】在圓軌跡運動時第3頁/共30頁vmrL直角座標系中角動量的份量表示pmorpor注意*必須指明參考點，角動量才有實際意義。*質點對某參考
3、點的角動量反映質點繞該參考點旋轉運動的強弱。，大大小小相相同同，則則：、若若為為參參考考點點：以以00Lo為為參參考考點點：以以第4頁/共30頁2、力矩(offorce)FrM單位：扭矩（Nm）定義：力對定點的扭矩rFodm大小：sin方向：服從手指定則扭力服從手指定則組成的平面和垂直于,Fr四指代表該力作用下質點相對于0點的轉動趨勢，則大手指代表轉矩的方向【特別】在圓軌跡運動時第5頁/共30頁例題、365-已知：)()()(smkgk/1742)(sNk56
4、)()(解：求角動量和扭矩直角座標系中扭矩的份量式:FrM第6頁/共30頁合力為零時，其合扭力是否一定為零？合扭力為零時角動量定理怎么用，合力是否一定為零？0,0,例：不一定斥力和反斥力對同一參考點合扭力為零。因而，質點系內扭力矢量和一定為零。0iiM內內12討論第7頁/共30頁?dd,dd)(作用于質點的合力對參考點O的扭矩，等于質點對該點O的角動量隨時間的變化率.
5、d0,二、質點的角動量定律(of)pv/第8頁/共30頁質點的角動量定律(of)質點角動量對時間的變化率等于作用于質點的扭矩質點角動量定律的微分方式。質點角動量的增量等于外扭矩對質點的角沖量（沖量矩）角動量定律的積分方式沖量矩第9頁/共30頁例一直徑為R的光滑圓環放在豎直平面內.一質量為m的小球穿在圓環上,并可在圓環上滑動.小球開始時靜止于圓環上的點A(該點在通過環心O的水平面上),之后從A點開始下降.設小球與圓環
6、間的磨擦略去不計.求小球滑到點B時對環心O的角動量和角速率.質點的角動量定律第10頁/共30頁小球受重力和支持力作用,圓環的支持力為有心力，扭力為零；重扭力垂直紙面向里由質點的角動量定律質點的角動量定律解LL得tdd2,第11頁/共30頁由題設條件積分上式)sin2(gmRL21)sin2(本題也可以用質點的功能原理（或質點和月球構成的質點系的機械能守恒定理）求解。第12頁/
7、共30頁dtLdM由于時，0M1212LL三、質點的角動量守恒定理所以角動量守恒定理（2）力的作用線與矢徑共線，即過0點（即，有心力）扭力為零的情況（1）力等于零；討論1這也是自然界普遍適用的一條基本規律。FrM力心第13頁/共30頁假如作用于質點的合扭力不為零,而合扭力沿z軸的份量為零,則恒量(當Mz=0時)zL當質點所受對z軸的扭矩為零時,質點對該軸的角動量保持不變質點對軸的角動量守恒定理。討論2第14頁/共30頁例、已知：月球R=6378km（月球均勻圓球）衛星近地：h1=439kmv1=8.1
8、km.s-1遠地:h2=2384km求：v2=?解：因為衛星是在月球的萬有引力有心力作用下運動，故衛星m對地心o的角動量守恒.o.61.hRv近地.3km9.03.2vH可充分借助衛星大,t遠地小很快飛過小很快飛過t第15頁/共30頁例：行星運動的開普勒第二定理覺得,對于任一行星,由太陽到行星的徑矢在相等的時間內掃過相等的面積。試用角動量守恒定理證明之。解:將行星看為質點,在dt
9、時間內以速率完成的位移為,矢徑在dt時間內掃過的面積為dS（圖中陰影）。vtv按照質點角動量的定義)(則第16頁/共30頁矢徑在單位時間內掃過的面積（稱為掠面速率）萬有引力屬于有心力,行星相對于太陽所在處的點O的角動量是守恒的,即=恒矢量,故有恒量行星對太陽所在點O的角動量守恒,除了角動量的大小不隨時間變化,即掠面速率恒定,并且角動量的方向也是不隨時間變化的,即行星的軌道平面在空間的取向是恒定的。第17頁/共30頁例：質量為m的小球系于細繩的一端,繩的另一端
10、縛在一根豎直放置的細棒上,小球被置于水平桌面上內繞細棒旋轉,某時刻角速率為1，細繩的寬度為r1。當旋轉了若干圈后,因為細繩纏繞在細棒上,繩長變為r2,求此時小球繞細棒旋轉的角速率2。2r1r解：小球受力繩子的張力,指向細棒；重力，豎直向上；支撐力,豎直向下。與繩子平行,不形成轉矩；與平衡，扭力仍然為零。所以,作用于小球的力對細棒的扭矩仍然等于零,故小球對細棒的角動量必將是守恒的。第18頁/共30頁按照質點對軸的角動量守恒定理式中v1是直徑為r1時小球的線速率,v2是直徑為r2時小球的線速率。代入上式得解得
11、12212)(rr可見,因為細繩越轉越短,,小球的角速率必將越轉越大,即。,rvrv而第19頁/共30頁例：光滑的水平面上用一彈性繩（k）系一小球(m)。開始時角動量定理怎么用，彈性繩自然伸長(L0)。今給小球與彈性繩垂直的初速率V0,試求當彈性繩轉過90度且伸長了L時，小球的速率大小與方向。+L習題訓練第20頁/共30頁解由機械能守恒有：怎么求角度？因為質點在有心力作用下運動，故角動量守恒。有：)(/cos)(v+L第21頁/共30
12、頁例2一質量的登月飛船,在離地球表面高度處繞地球作圓周運動.飛船采用如下登月方法:當飛船坐落點A時,它向兩側短時間噴氣,使飛船與地球相切地抵達點B,且OA與OB垂直.飛船所噴氣體相對飛船的速率為.已知地球直徑;在飛船登月過程中,地球的重力加速度視為常量.試問登月飛船在登月過程中所需消耗燃料的質量是多少?...1g第22頁/共30頁解設飛船在點A的速率,地球質量mM,由萬有引力和牛頓定理)(v2M
13、RmGg...1g已知求所需消耗燃料的質量.m第23頁/共30頁得)()()()(得當飛船在A點以相對速率u向外噴氣的短時間里,飛船的質量降低了m而為,并獲得速率的增量,使飛船的速率變為,其值為vAvm質量在A點和B點只受有心力作用,角動量守恒第24頁/共30頁飛船在A點噴吐二氧化碳后,在抵達地球的過程中,機械能守恒21)(22
14、即于是)(而vmum)(RA第25頁/共30頁例3質量很小寬度為l的均勻細桿,可繞開其中心O并與紙面垂直的軸在豎直平面內轉動.當細桿靜止于水平位置時,有一只蟲子以速度垂直落在距點O為l/4處,并背離點O向細桿的端點A爬行.設蟲子與細桿的質量均為m.問:欲使細桿以恒定的角速率轉動,蟲子應以多大速度向細桿端點爬行?0v220)4(v解蟲子與細桿
15、的碰撞視為完全非彈性碰撞，碰撞前后系統角動量守恒系統角動量守恒第26頁/共30頁l0712v由角動量定律)()121(即考慮到t)(g第27頁/共30頁例4一雜技藝人M由距水平蹺板高為h處自由下落到蹺板的一端A,并把蹺板另一端的藝人N彈了上去.設蹺板是勻質的,厚度為l,質量為,蹺板可繞中部支撐點C在豎直平面內轉動,藝人的質量均為m.假設藝人M落在蹺板上,與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞.問藝人N可彈起多高?ll/解碰撞前M落在A點的速率21M)2(ghv碰撞后的頓時,M、N具有相同的線速率2lum第28頁/共30頁把M、N和蹺板作為一個系統,角動量守恒21M)(2ghv2lu)6()2(解得藝人N以u起跳,達到的高度)63(82ll/第29頁/共30頁