1、會(huì)計(jì)學(xué)14角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定理角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定理【引入】為什么提出“角動(dòng)量”概念？1rvmP2r問題一：兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)如下圖，以不同直徑的軌道轉(zhuǎn)動(dòng)，動(dòng)量大小相等，位移方向相同時(shí)連動(dòng)量方向也相同，該怎樣區(qū)別兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)？vmrL0CvMp總總并且系統(tǒng)有機(jī)械運(yùn)動(dòng)，說明不宜使用動(dòng)量來量度轉(zhuǎn)動(dòng)物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)量。問題二：將一繞通過剛體的固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，系統(tǒng)總動(dòng)量為CM*引入與動(dòng)量對(duì)應(yīng)的角量角動(dòng)量（動(dòng)量矩）pL動(dòng)量對(duì)參考點(diǎn)（或軸）求矩第1頁/共30頁一、相關(guān)概念1.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量()mopr定義：sin大小：pr
2、方向：服服從從右手臂手定定則則。組組成成的的平平面面，和和垂垂直直于于pryzmrporLp質(zhì)點(diǎn)相對(duì)O點(diǎn)的矢徑第2頁/共30頁v質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量的方向質(zhì)點(diǎn)以角速率作直徑為的圓運(yùn)動(dòng)，相對(duì)圓心的角動(dòng)量r2mrL的方向符合右手法則。1）從位矢轉(zhuǎn)向速率2）傾角大于180度L注意四指代表質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于0點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)，則大食指代表角動(dòng)量的方向【特別】在圓軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)第3頁/共30頁vmrL直角座標(biāo)系中角動(dòng)量的份量表示pmorpor注意*必須指明參考點(diǎn)，角動(dòng)量才有實(shí)際意義。*質(zhì)點(diǎn)對(duì)某參考
3、點(diǎn)的角動(dòng)量反映質(zhì)點(diǎn)繞該參考點(diǎn)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)弱。，大大小小相相同同，則則：、若若為為參參考考點(diǎn)點(diǎn)：以以00Lo為為參參考考點(diǎn)點(diǎn)：以以第4頁/共30頁2、力矩(offorce)FrM單位：扭矩（Nm）定義：力對(duì)定點(diǎn)的扭矩rFodm大小：sin方向：服從手指定則扭力服從手指定則組成的平面和垂直于,Fr四指代表該力作用下質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于0點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)，則大手指代表轉(zhuǎn)矩的方向【特別】在圓軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)第5頁/共30頁例題、365-已知：)()()(smkgk/1742)(sNk56
4、)()(解：求角動(dòng)量和扭矩直角座標(biāo)系中扭矩的份量式:FrM第6頁/共30頁合力為零時(shí)，其合扭力是否一定為零？合扭力為零時(shí)角動(dòng)量定理怎么用，合力是否一定為零？0,0,例：不一定斥力和反斥力對(duì)同一參考點(diǎn)合扭力為零。因而，質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)扭力矢量和一定為零。0iiM內(nèi)內(nèi)12討論第7頁/共30頁?dd,dd)(作用于質(zhì)點(diǎn)的合力對(duì)參考點(diǎn)O的扭矩，等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)O的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率.
5、d0,二、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定律(of)pv/第8頁/共30頁質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定律(of)質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率等于作用于質(zhì)點(diǎn)的扭矩質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定律的微分方式。質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量等于外扭矩對(duì)質(zhì)點(diǎn)的角沖量（沖量矩）角動(dòng)量定律的積分方式?jīng)_量矩第9頁/共30頁例一直徑為R的光滑圓環(huán)放在豎直平面內(nèi).一質(zhì)量為m的小球穿在圓環(huán)上,并可在圓環(huán)上滑動(dòng).小球開始時(shí)靜止于圓環(huán)上的點(diǎn)A(該點(diǎn)在通過環(huán)心O的水平面上),之后從A點(diǎn)開始下降.設(shè)小球與圓環(huán)
6、間的磨擦略去不計(jì).求小球滑到點(diǎn)B時(shí)對(duì)環(huán)心O的角動(dòng)量和角速率.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定律第10頁/共30頁小球受重力和支持力作用,圓環(huán)的支持力為有心力，扭力為零；重扭力垂直紙面向里由質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定律質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定律解LL得tdd2,第11頁/共30頁由題設(shè)條件積分上式)sin2(gmRL21)sin2(本題也可以用質(zhì)點(diǎn)的功能原理（或質(zhì)點(diǎn)和月球構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能守恒定理）求解。第12頁/
7、共30頁dtLdM由于時(shí)，0M1212LL三、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定理所以角動(dòng)量守恒定理（2）力的作用線與矢徑共線，即過0點(diǎn)（即，有心力）扭力為零的情況（1）力等于零；討論1這也是自然界普遍適用的一條基本規(guī)律。FrM力心第13頁/共30頁假如作用于質(zhì)點(diǎn)的合扭力不為零,而合扭力沿z軸的份量為零,則恒量(當(dāng)Mz=0時(shí))zL當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受對(duì)z軸的扭矩為零時(shí),質(zhì)點(diǎn)對(duì)該軸的角動(dòng)量保持不變質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量守恒定理。討論2第14頁/共30頁例、已知：月球R=6378km（月球均勻圓球）衛(wèi)星近地：h1=439kmv1=8.1
8、km.s-1遠(yuǎn)地:h2=2384km求：v2=?解：因?yàn)樾l(wèi)星是在月球的萬有引力有心力作用下運(yùn)動(dòng)，故衛(wèi)星m對(duì)地心o的角動(dòng)量守恒.o.61.hRv近地.3km9.03.2vH可充分借助衛(wèi)星大,t遠(yuǎn)地小很快飛過小很快飛過t第15頁/共30頁例：行星運(yùn)動(dòng)的開普勒第二定理覺得,對(duì)于任一行星,由太陽到行星的徑矢在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積。試用角動(dòng)量守恒定理證明之。解:將行星看為質(zhì)點(diǎn),在dt
9、時(shí)間內(nèi)以速率完成的位移為,矢徑在dt時(shí)間內(nèi)掃過的面積為dS（圖中陰影）。vtv按照質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的定義)(則第16頁/共30頁矢徑在單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積（稱為掠面速率）萬有引力屬于有心力,行星相對(duì)于太陽所在處的點(diǎn)O的角動(dòng)量是守恒的,即=恒矢量,故有恒量行星對(duì)太陽所在點(diǎn)O的角動(dòng)量守恒,除了角動(dòng)量的大小不隨時(shí)間變化,即掠面速率恒定,并且角動(dòng)量的方向也是不隨時(shí)間變化的,即行星的軌道平面在空間的取向是恒定的。第17頁/共30頁例：質(zhì)量為m的小球系于細(xì)繩的一端,繩的另一端
10、縛在一根豎直放置的細(xì)棒上,小球被置于水平桌面上內(nèi)繞細(xì)棒旋轉(zhuǎn),某時(shí)刻角速率為1，細(xì)繩的寬度為r1。當(dāng)旋轉(zhuǎn)了若干圈后,因?yàn)榧?xì)繩纏繞在細(xì)棒上,繩長(zhǎng)變?yōu)閞2,求此時(shí)小球繞細(xì)棒旋轉(zhuǎn)的角速率2。2r1r解：小球受力繩子的張力,指向細(xì)棒；重力，豎直向上；支撐力,豎直向下。與繩子平行,不形成轉(zhuǎn)矩；與平衡，扭力仍然為零。所以,作用于小球的力對(duì)細(xì)棒的扭矩仍然等于零,故小球?qū)?xì)棒的角動(dòng)量必將是守恒的。第18頁/共30頁按照質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量守恒定理式中v1是直徑為r1時(shí)小球的線速率,v2是直徑為r2時(shí)小球的線速率。代入上式得解得
11、12212)(rr可見,因?yàn)榧?xì)繩越轉(zhuǎn)越短,,小球的角速率必將越轉(zhuǎn)越大,即。,rvrv而第19頁/共30頁例：光滑的水平面上用一彈性繩（k）系一小球(m)。開始時(shí)角動(dòng)量定理怎么用，彈性繩自然伸長(zhǎng)(L0)。今給小球與彈性繩垂直的初速率V0,試求當(dāng)彈性繩轉(zhuǎn)過90度且伸長(zhǎng)了L時(shí)，小球的速率大小與方向。+L習(xí)題訓(xùn)練第20頁/共30頁解由機(jī)械能守恒有：怎么求角度？因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)在有心力作用下運(yùn)動(dòng)，故角動(dòng)量守恒。有：)(/cos)(v+L第21頁/共30
12、頁例2一質(zhì)量的登月飛船,在離地球表面高度處繞地球作圓周運(yùn)動(dòng).飛船采用如下登月方法:當(dāng)飛船坐落點(diǎn)A時(shí),它向兩側(cè)短時(shí)間噴氣,使飛船與地球相切地抵達(dá)點(diǎn)B,且OA與OB垂直.飛船所噴氣體相對(duì)飛船的速率為.已知地球直徑;在飛船登月過程中,地球的重力加速度視為常量.試問登月飛船在登月過程中所需消耗燃料的質(zhì)量是多少?...1g第22頁/共30頁解設(shè)飛船在點(diǎn)A的速率,地球質(zhì)量mM,由萬有引力和牛頓定理)(v2M
13、RmGg...1g已知求所需消耗燃料的質(zhì)量.m第23頁/共30頁得)()()()(得當(dāng)飛船在A點(diǎn)以相對(duì)速率u向外噴氣的短時(shí)間里,飛船的質(zhì)量降低了m而為,并獲得速率的增量,使飛船的速率變?yōu)?其值為vAvm質(zhì)量在A點(diǎn)和B點(diǎn)只受有心力作用,角動(dòng)量守恒第24頁/共30頁飛船在A點(diǎn)噴吐二氧化碳后,在抵達(dá)地球的過程中,機(jī)械能守恒21)(22
14、即于是)(而vmum)(RA第25頁/共30頁例3質(zhì)量很小寬度為l的均勻細(xì)桿,可繞開其中心O并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng).當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時(shí),有一只蟲子以速度垂直落在距點(diǎn)O為l/4處,并背離點(diǎn)O向細(xì)桿的端點(diǎn)A爬行.設(shè)蟲子與細(xì)桿的質(zhì)量均為m.問:欲使細(xì)桿以恒定的角速率轉(zhuǎn)動(dòng),蟲子應(yīng)以多大速度向細(xì)桿端點(diǎn)爬行?0v220)4(v解蟲子與細(xì)桿
15、的碰撞視為完全非彈性碰撞，碰撞前后系統(tǒng)角動(dòng)量守恒系統(tǒng)角動(dòng)量守恒第26頁/共30頁l0712v由角動(dòng)量定律)()121(即考慮到t)(g第27頁/共30頁例4一雜技藝人M由距水平蹺板高為h處自由下落到蹺板的一端A,并把蹺板另一端的藝人N彈了上去.設(shè)蹺板是勻質(zhì)的,厚度為l,質(zhì)量為,蹺板可繞中部支撐點(diǎn)C在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),藝人的質(zhì)量均為m.假設(shè)藝人M落在蹺板上,與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞.問藝人N可彈起多高?ll/解碰撞前M落在A點(diǎn)的速率21M)2(ghv碰撞后的頓時(shí),M、N具有相同的線速率2lum第28頁/共30頁把M、N和蹺板作為一個(gè)系統(tǒng),角動(dòng)量守恒21M)(2ghv2lu)6()2(解得藝人N以u(píng)起跳,達(dá)到的高度)63(82ll/第29頁/共30頁