物理中飽含了奇怪的數(shù)字系統(tǒng)，大多數(shù)人未曾據(jù)說過，甚至無法概念化。并且有理數(shù)我們很熟悉。它們是計數(shù)數(shù)字和分數(shù)（所有你從高中就曉得的數(shù)字）。但在物理中，最簡單的東西常常是最難理解的。
牛津?qū)W院的物理家金敏賢（Kim）對找出什么有理數(shù)能解特定類型的等式非常感興趣。千百年來，這個問題仍然困惑著圖論學(xué)家。她們在解決這個問題上取得的進展微乎其微。當一個問題被研究了這么長時間卻沒有得到解決時，我們可以得出這樣的推論：惟一的解決辦法就是某人想出一個全新的看法。這正是金正恩所做的。
在過去的六年里，金描述了一種特別新的方式，在看似沒有模式的有理數(shù)世界中找尋模式。這不是基于純粹的數(shù)字世界，而是借用了數(shù)學(xué)學(xué)的概念。
古時的挑戰(zhàn)
方程式的有理數(shù)解對人的思想有很強的吸引力。它們是物理中許多最知名的推測的主題。
有理數(shù)包括整數(shù)和任何可以用兩個整數(shù)的比表示的數(shù)，如1、-4和99/100。物理家們對解所謂的“丟番圖等式”有理數(shù)非常感興趣（知名的丟番圖多項式，最有趣的“世界困局”，從古研究至今），如x^2+y^2=1。這種方程式以丟番圖命名，他于公元三世紀在亞歷山大研究過這種方程式。
以任何一種全面的方法都很難找到有理數(shù)解，由于它們不遵守任何幾何模式。考慮一下等式x^2+y^2=1。這個等式的實數(shù)解產(chǎn)生一個圓。去除這個圓上所有不能用分數(shù)表示的點，剩下的就是所有的有理數(shù)解。有理數(shù)解雖然隨機地散播在圓周上，毫無規(guī)律可言。
一般很容易找到一個或多個有理數(shù)解。并且物理家們更感興趣的是找出所有的有理數(shù)解。這是十分困難的，以至于證明哪怕是最簡單的關(guān)于有理解數(shù)目的陳述都足以讓你成為物理上的杰出人物。1986年，格爾德·福爾廷斯（Gerd）獲得了菲爾茲獎，這是物理的最高榮譽，主要是由于他解決了一個稱作莫德爾推測（）的問題，并證明了個別丟番圖多項式只有有限多個有理數(shù)解。
福爾廷斯的證明在圖論中具有里程碑的意義。這也是物理家們所說的“無效證明”，意思是它實際上并不估算有理數(shù)解的數(shù)目。有理數(shù)點看上去好似多項式圖上的隨機點。物理家們希望，假如她們改變思索這個問題的角度，這種點將開始看上去更像一個“星座”，她們可以用某種精確的形式來描述。問題是，已知的物理領(lǐng)域并沒有提供這樣的工具。
目前，關(guān)于這個新看法可能是哪些，主要有兩種建議。其中一個來自意大利物理家望月信一（）。2012年，他在京都學(xué)院的班主任網(wǎng)頁上發(fā)布了數(shù)百頁詳細、新穎的物理論文。另一個新看法來自金敏賢，他企圖在一個擴充的數(shù)字環(huán)境中思索有理數(shù)，在這個環(huán)境中，它們之間隱藏的模式開始顯露下來。
對稱的解
物理家們常說，一個物體越對稱，研究上去就越容易。考慮到這一點，她們希望把丟番圖多項式的研究放在一個更對稱的環(huán)境中。假如她們能做到這一點，能夠借助新的相關(guān)對稱性來追蹤她們正在尋覓的有理數(shù)點。
為了了解對稱性怎樣幫助物理家解決問題，畫一個圓。其實你的目標是找出圓上所有的點。對稱性很有用，由于它創(chuàng)建了一個“地圖”，讓你從你曉得的點導(dǎo)航到你仍未發(fā)覺的點。
假定你已然找到了南半圓上所有的有理數(shù)點，因為圓具有反射對稱性，所以你也得到了北半圓的所有有理數(shù)點。事實上，雖然只曉得一個點的位置，再結(jié)合圓的對稱性知識，你就可以找到圓上所有的點（只需將圓的無限旋轉(zhuǎn)對稱性應(yīng)用到原點上）。
但是，假若你正在研究的幾何物體是高度不規(guī)則的，你將不得不努力去辨識每位單獨的點（不存在對稱關(guān)系，使你可以將已知的點映射到未知的點）。
一組數(shù)字也可以具有對稱性物理知識框架，一組數(shù)字越具有對稱性，就越容易理解（可以應(yīng)用對稱性關(guān)系來發(fā)覺未知值）。具有特定對稱關(guān)系的數(shù)字構(gòu)成一個“群”，物理家可以借助群的屬性來理解它所包含的所有數(shù)字。
一個等式的有理數(shù)解集不具有任何對稱性，也不能產(chǎn)生一個群，這就給物理家留下了一個不可能的任務(wù)：企圖一次發(fā)覺一個解。
從20世紀40年代開始，物理家們開始探求將丟番圖多項式放在更對稱的環(huán)境中的技巧。物理家克勞德·夏伯蒂（）發(fā)覺，在他建立的一個更大的幾何空間中，有理數(shù)產(chǎn)生了自己的對稱子空間。之后他把這個子空間和丟番圖結(jié)合上去。二者相交的點顯示出多項式的有理數(shù)解。
20世紀80年代，物理家羅伯特·科爾曼（）改進了夏伯蒂的技巧。在那以后的幾六年里，科爾曼-夏伯蒂方式是物理家們找到丟番圖多項式有理數(shù)解的最佳工具。不過，只有當多項式的圖形與較大空間的大小成特定比列時，它才有效。當比列偏離時，就很難找到多項式曲線與有理數(shù)相交的準確點。
假如在一個環(huán)境空間里有一條曲線，而有理數(shù)點太多，這么那些有理點都會集聚在一起，很難分辨什么點在曲線上。
為了擴充夏伯蒂的工作，金想找到一個更大的空間來思索丟番圖多項式——一個有理數(shù)點更分散的空間，讓他可以研究更多種類的丟番圖多項式的交點。
空間中的空間
假如你正在找尋一種更大的空間類型，以及思索怎么借助對稱性來“導(dǎo)航”的線索，數(shù)學(xué)學(xué)是個不錯的選擇。
通常來說，在物理意義上，“空間”是任何具有幾何或拓撲結(jié)構(gòu)的點集。一千個點隨便分布并不會產(chǎn)生一個空間（由于沒有任何結(jié)構(gòu)將它們聯(lián)系在一起）。并且一個圓球物理知識框架，它是一個非常連貫的點的排列，它是一個空間。環(huán)面也是這么，或則二維平面，或則我們生活的四維時空。
不僅這種空間，還有更多奇特的空間，你可以把它們看作“空間中的空間”。舉一個特別簡單的事例，想像你有一個三角形（那是一個空間）。現(xiàn)今想像所有可能的三角形的空間。這個大空間中的每位點都代表一個特定的三角形，其座標由它所代表的三角形的角度給出。
這些觀點在數(shù)學(xué)學(xué)中很有用。在廣義相對論的框架中，空間和時間是不斷演變的，化學(xué)學(xué)家覺得每位時空構(gòu)象都是所有時空構(gòu)象空間中的一個點。空間中的空間也出現(xiàn)在一個稱作規(guī)范理論（gauge）的數(shù)學(xué)學(xué)領(lǐng)域，規(guī)范理論與數(shù)學(xué)空間中的場有關(guān)。這種場描述了當你在空間中聯(lián)通時，像電磁力和重力這樣的力是怎樣變化的。你可以想像這種場在空間中每一點上都有一個稍為不同的構(gòu)象，所有那些不同的構(gòu)象一起產(chǎn)生了高維的“所有場空間”中的點。
這個數(shù)學(xué)場的空間與金在圖論中提出“數(shù)字擴充空間”非常相像。要理解其中的緣由，請以一束光為例。化學(xué)學(xué)家想像光在高維場空間中運動。在這個空間中，光線會遵守的路徑遵守“最小作用原理”（也就是說，從A到B所須要的時間最少的路徑）。
的
這種在數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的更大的空間具有在它們所代表的任何空間中都不存在的額外對稱性。這種對稱性將注意力吸引到特定的點上，比如，指出時間最小化路徑。在另一種情況下以另一種形式構(gòu)造，這種相同類型的對稱可能會指出其他類型的點——比如對應(yīng)于多項式的有理解的點。這一原理解釋了為何光從一種材料聯(lián)通到另一種材料時會發(fā)生彎曲（彎曲的路徑可以使所耗費的時間最小）。
將對稱與化學(xué)聯(lián)系上去
圖論沒有粒子可追蹤，但它確實有時空之類的東西，并且它還提供了一種勾畫路徑并建立所有可能路徑的空間的技巧。從這個基本對應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系，金正在設(shè)計一個方案，其中找尋光的軌跡的問題和找尋丟番圖等式的有理數(shù)解是同一個問題的兩個方面。
丟番圖等式的解產(chǎn)生空間（那些是由多項式定義的曲線）。這種曲線可以是一維的，例如圓，也可以是高維的。諸如，假如你勾畫丟番圖等式x^4+y^4=1的（復(fù)）解，會得到一個三孔環(huán)面。這個環(huán)面上的有理數(shù)點缺少幾何結(jié)構(gòu)（這就是為何它們很難找到），但它們可以與具有結(jié)構(gòu)的高維空間中的點相對應(yīng)。
金通過思索在環(huán)面上畫環(huán)的方式，創(chuàng)造了這些高維空間中的空間。勾畫路徑的程序如下。首先，選擇一個基點，之后從哪個點到任何其他點畫一個循環(huán)，之后再回去。重復(fù)這個過程，畫出聯(lián)接基點和環(huán)面上其他點的路徑。這種循環(huán)從基點開始并結(jié)束。這個循環(huán)的集合在物理中是一個重要的中心對象——它被稱為空間的基本群。
可以用環(huán)面上的任何一點作為基點。每位點都有一條奇特的路徑從哪里延展下來。這種路徑集合中的每一個都可以表示為高維“所有路徑集合空間”中的一個點（如同所有可能三角形的空間）。這個空間中的空間在幾何上與化學(xué)學(xué)家在規(guī)范理論中建立的“空間中的空間”非常相像（當在環(huán)面上從一點聯(lián)通到另一點時，路徑集合的變化形式與在真實空間中從一點聯(lián)通到另一點時場的變化形式十分相像）。這個空間中的空間具有額外的對稱性，而這對稱性在環(huán)面本身上是不存在的。其實環(huán)面上的有理數(shù)點之間不對稱，但若果步入所有路徑集合的空間，你會發(fā)覺與有理數(shù)點相關(guān)的點之間是對稱的。你獲得了先前不可見的對稱性。
在這種路徑中存在一種‘隱藏的算術(shù)對稱性’，這與規(guī)范理論的內(nèi)部對稱性十分相像。
如同夏伯蒂所做的那樣，金姆通過思索他所建立的這個更大空間的交點，找到了有理數(shù)解。他借助這個空間的對稱性來縮小交點。他的希望是開發(fā)出一種能精確偵測這種點的多項式。
在化學(xué)環(huán)境中，你可以想像一束光可能走的所有路徑。這就是你的“全路徑空間”。空間中讓化學(xué)學(xué)家感興趣的點是與時間最小化路徑對應(yīng)的點。這種點對應(yīng)于由有理數(shù)點形成的紛繁復(fù)雜的路徑，具有同樣的性質(zhì)。也就是說，當你開始思索丟番圖多項式的幾何方式時，這種點會使出現(xiàn)的個別性質(zhì)最小化。
一個不確定的未來
明天，化學(xué)學(xué)的語言依然幾乎完全在圖論的實踐之外。這幾乎肯定會改變。40年前，化學(xué)學(xué)與幾何學(xué)和拓撲學(xué)之間幾乎沒有哪些聯(lián)系。之后，在20世紀80年代，一些物理家和化學(xué)學(xué)家（都是現(xiàn)今的偉人），找到了借助數(shù)學(xué)學(xué)來研究形狀屬性的準確方式。
若果不了解化學(xué)，幾乎不可能對幾何和拓撲感興趣。我有理由相信，在未來幾六年內(nèi)，圖論也將實現(xiàn)這一目標。這些聯(lián)系是這么自然。