前幾期的文章我們介紹了顏色的奧秘、彩虹的數(shù)學(xué)學(xué)原理以及彩虹的顏色，感興趣的同學(xué)可以戳下邊鏈接：一口氣看懂︱雙彩虹，霓虹，笑容彩虹和月虹背后的數(shù)學(xué)學(xué)原理
下邊的幾期文章我們將詳盡介紹聲音的數(shù)學(xué)學(xué)原理，在這之前我們將用兩篇文章描述震動(dòng)、簡諧運(yùn)動(dòng)化學(xué)學(xué)和波的數(shù)學(xué)學(xué)。
我們首先要了解的是：震動(dòng)是宇宙中普遍存在的現(xiàn)象，大到所有的宏觀物體（水災(zāi)），小到基本粒子（熱運(yùn)動(dòng)、布朗運(yùn)動(dòng)）。
震動(dòng)(又稱振蕩)是指一個(gè)狀態(tài)改變的過程。即物體的往復(fù)運(yùn)動(dòng)。在中學(xué)數(shù)學(xué)，可以定量研究（可以用公式法、作圖法、列表法給出確定數(shù)值）的只有四種最簡單的運(yùn)動(dòng)：勻變速直線運(yùn)動(dòng)、勻速圓周運(yùn)動(dòng)、拋體運(yùn)動(dòng)和簡諧震動(dòng)。
當(dāng)一個(gè)物體發(fā)生震動(dòng)時(shí)，物感受從平衡位置來回聯(lián)通。假如一個(gè)物體靜止不動(dòng)，位置不發(fā)生任何變化簡諧振動(dòng)，這時(shí)我們說這個(gè)物體上遭到的凈力為零。所以，當(dāng)我們給一個(gè)物體施加一個(gè)外力時(shí)，物體的平衡狀態(tài)會(huì)被打破，物體開始遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)，要么發(fā)生勻速直線運(yùn)動(dòng)，要么發(fā)生震動(dòng)運(yùn)動(dòng),物體在某一點(diǎn)后停止，之后回到平衡點(diǎn)，緊接著聯(lián)通到另一邊，之后停止，之后再回去，這么往復(fù)運(yùn)動(dòng)……
震動(dòng)在我們在日常生活中隨處可見。從我們車?yán)锏膿u頭娃娃、家里的擺鐘、掉在地板上彈球、秋千上的女兒、在風(fēng)中搖擺的樹，或任何其他搖晃和搖擺的動(dòng)作，一般這種物體要么富于彈性，或則是一個(gè)像鐘擺一樣的物體。而且假如我們深入的研究，我們會(huì)發(fā)覺，所有的東西都在震動(dòng)，即便是看上去靜止的固體。在固體中，粒子也在震動(dòng)，只有在絕對零度(-273℃)時(shí)，所有運(yùn)動(dòng)將會(huì)停止。我們明天主要討論的是宏觀數(shù)學(xué)學(xué)的震動(dòng)和周期運(yùn)動(dòng)。
周期運(yùn)動(dòng)
當(dāng)物體的震動(dòng)表現(xiàn)出規(guī)律和往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)簡諧振動(dòng)，我們稱這些運(yùn)動(dòng)為周期性運(yùn)動(dòng)。物體在同一時(shí)間內(nèi)順著同一路徑往復(fù)運(yùn)動(dòng)，直至減振停止。彈簧上的配重是學(xué)習(xí)周期運(yùn)動(dòng)最好的事例，看上圖：
在前面的動(dòng)漫中，我們先把配重拉到最高點(diǎn)也就是起始的位置，之后松手，從最高位置開始，配重會(huì)上升到平衡點(diǎn)，并經(jīng)過平衡點(diǎn)，繼續(xù)上升，直至停止，這就完成了周期運(yùn)動(dòng)的一半；之后配重會(huì)在彈簧的恢復(fù)力和重力作用下改變方向，開始返回，在返回的過程中，配重會(huì)再度經(jīng)過平衡點(diǎn)，并回到頂部最高點(diǎn)。所有的過程我們稱之為一個(gè)循環(huán)，總共由4個(gè)部份組成。
配重完成一個(gè)循環(huán)的時(shí)間稱作周期。
因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)的過程是以秒為單位測度的，所以周期的單位也是秒，我們用小寫字母T來表示。假如我們把這個(gè)定義反過來問：在一段時(shí)間內(nèi)發(fā)生了多少個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)？這么我們就有了另外一個(gè)評判周期運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)量：頻度。頻度用f表示，單位為赫茲（Hz）。周期與頻度的關(guān)系如下:
周期和頻度存在直接的聯(lián)系。周期是完成一個(gè)完整的循環(huán)運(yùn)動(dòng)所須要的時(shí)間，頻度是單位時(shí)間內(nèi)完成的周期數(shù)。假如我們曉得其中一個(gè)數(shù)學(xué)量就很容易得到另外一個(gè)。
在周期運(yùn)動(dòng)中都會(huì)常常提及的另一個(gè)定義：振幅。上文中的彈簧配重的最大位移，這就是振幅。用小寫字母A表示，單位為米（m）。
振幅是一個(gè)物體離開平衡位置的最大位移。
簡諧振子（運(yùn)動(dòng)）
關(guān)于彈簧，上文早已講了一些基本的常識(shí)，如今介紹一下簡諧運(yùn)動(dòng)。
彈簧的一端聯(lián)接一個(gè)重物，而另一端聯(lián)接到一個(gè)剛性支架上。當(dāng)系統(tǒng)靜止在平衡位置時(shí)，作用在重物上的合力為零。質(zhì)量從平衡位置發(fā)生位移時(shí)，彈簧會(huì)形成一種使整個(gè)系統(tǒng)恢復(fù)平衡的彈力，這就是我們熟知的胡克定律。
胡克定律說明了拉伸或壓縮彈簧所需的力(F)與發(fā)生的位移X成線性關(guān)系。彈簧的彈力總是跟配重運(yùn)動(dòng)方向和位移X的方向相反，由于當(dāng)彈簧被壓縮時(shí)，彈力把整個(gè)系統(tǒng)往下推，當(dāng)彈簧被拉長時(shí)，彈力會(huì)把整個(gè)系統(tǒng)往前拉，彈力趨于于使系統(tǒng)恢復(fù)平衡。這就是公式F=-kx有個(gè)減號(hào)的緣由。
在公式中F(單位為牛頓)為恢復(fù)力（彈力），x為位移(單位為米)，k為彈性系數(shù)，該常數(shù)取決于彈簧的材料。
我們來瞧瞧整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程：
當(dāng)我們把一個(gè)重物掛在彈簧上，系統(tǒng)處于靜止，這時(shí)重物處于平衡位置，合力為零。由于彈簧的力等于把物體拉向地面的力。這時(shí)我們從平衡位置將重物移開之后松手，重物會(huì)遭到彈簧所形成的凈恢復(fù)力，重物會(huì)向平衡位置聯(lián)通。越接近平衡位置，恢復(fù)力就越小，直至在平衡位置降為零，這時(shí)加速度為零。在我們剛松手時(shí)，加速度最大，這就是簡諧運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)。
在重物抵達(dá)平衡時(shí)，因?yàn)閯?dòng)能的緣由，彈簧會(huì)被壓縮，重物繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)。當(dāng)彈簧壓縮時(shí)，向上的加速度降低，恢復(fù)力使重物減速，直至重物在振幅處停止，此時(shí)向上的加速度再度達(dá)到最大值，重物開始增長，而加速度也再度增長，直至再度達(dá)到平衡位置時(shí)降為零。當(dāng)重物經(jīng)過平衡位置時(shí)，開始減速，直至抵達(dá)開始時(shí)的頂部振幅。
假如整個(gè)過程中沒有能量損失，運(yùn)動(dòng)都會(huì)仍然重復(fù)，我們就有了一個(gè)簡諧振子。因?yàn)闇p振會(huì)導(dǎo)致能量耗損，振幅會(huì)隨著時(shí)間的推移越來越小，直至最后為零，運(yùn)動(dòng)也將停止。
一個(gè)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體在一條半徑上的投影所做的運(yùn)動(dòng)即為簡諧運(yùn)動(dòng)。
這個(gè)過程中的能量變化是如何樣的
我們首先要曉得的是，一個(gè)物體靜止時(shí)有勢能，有速率時(shí)有動(dòng)能，我們能夠很容易地理解這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中的能量變化。我們來看右圖：
總能量是動(dòng)能和彈性勢能的和。我們從振幅的最高位置開始，物體是靜止的。由于此車速度為零，所以沒有動(dòng)能，整個(gè)能量是勢能。當(dāng)物體開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，勢能減少，而動(dòng)能隨著速率的降低而降低。在平衡狀態(tài)時(shí)，勢能為零，整個(gè)能量為動(dòng)能。當(dāng)物體繼續(xù)上移到振幅較高的位置時(shí)，動(dòng)能降低，勢能降低，直至上升到振幅的位置，動(dòng)能為零，整個(gè)能量都是勢能
我們發(fā)覺，位移、速度和加速度都具有周期性。我們可以解微分等式得到三角函數(shù)解。
上圖都是微分等式的解和角頻度ω=2πf。
從右圖中可以看出，位移從振幅開始，速率從0開始，加速度從最大值開始。函數(shù)是周期性變化的。
如今我們來看一個(gè)關(guān)于周期和頻度的重要問題。也就是周期和頻度的決定誘因是哪些？假如我們改變質(zhì)量，運(yùn)動(dòng)會(huì)改變嗎？假如我們有相同的質(zhì)量，但降低振幅，運(yùn)動(dòng)會(huì)改變嗎?
周期和頻度與振幅無關(guān)
不管你把重物向上拉幾分米還是幾米，周期和頻度都是一樣的。我們來瞧瞧為何會(huì)這樣。我們曉得，角頻度是ω=2πf，我們也曉得角動(dòng)量取決于質(zhì)量和彈簧常數(shù)，如以下公式所示:
我們?nèi)缃褚龅木褪前堰@兩個(gè)公式結(jié)合上去，瞧瞧會(huì)得到哪些。
總結(jié)
如同我們一開始說的，為了得到聲音，我們首先須要討論波，討論波之前，我們須要了解震動(dòng)。上文我們早已述說了震動(dòng)以及從位移、加速度到能量和頻度的簡諧運(yùn)動(dòng)。上篇文章我們就說一下波的數(shù)學(xué)學(xué)。