前幾期的文章我們介紹了顏色的奧秘、彩虹的數學學原理以及彩虹的顏色，感興趣的同學可以戳下邊鏈接：一口氣看懂︱雙彩虹，霓虹，笑容彩虹和月虹背后的數學學原理
下邊的幾期文章我們將詳盡介紹聲音的數學學原理，在這之前我們將用兩篇文章描述震動、簡諧運動化學學和波的數學學。
我們首先要了解的是：震動是宇宙中普遍存在的現象，大到所有的宏觀物體（水災），小到基本粒子（熱運動、布朗運動）。
震動(又稱振蕩)是指一個狀態改變的過程。即物體的往復運動。在中學數學，可以定量研究（可以用公式法、作圖法、列表法給出確定數值）的只有四種最簡單的運動：勻變速直線運動、勻速圓周運動、拋體運動和簡諧震動。
當一個物體發生震動時，物感受從平衡位置來回聯通。假如一個物體靜止不動，位置不發生任何變化簡諧振動，這時我們說這個物體上遭到的凈力為零。所以，當我們給一個物體施加一個外力時，物體的平衡狀態會被打破，物體開始遠離平衡點，要么發生勻速直線運動，要么發生震動運動,物體在某一點后停止，之后回到平衡點，緊接著聯通到另一邊，之后停止，之后再回去，這么往復運動……
震動在我們在日常生活中隨處可見。從我們車里的搖頭娃娃、家里的擺鐘、掉在地板上彈球、秋千上的女兒、在風中搖擺的樹，或任何其他搖晃和搖擺的動作，一般這種物體要么富于彈性，或則是一個像鐘擺一樣的物體。而且假如我們深入的研究，我們會發覺，所有的東西都在震動，即便是看上去靜止的固體。在固體中，粒子也在震動，只有在絕對零度(-273℃)時，所有運動將會停止。我們明天主要討論的是宏觀數學學的震動和周期運動。
周期運動
當物體的震動表現出規律和往復運動時簡諧振動，我們稱這些運動為周期性運動。物體在同一時間內順著同一路徑往復運動，直至減振停止。彈簧上的配重是學習周期運動最好的事例，看上圖：
在前面的動漫中，我們先把配重拉到最高點也就是起始的位置，之后松手，從最高位置開始，配重會上升到平衡點，并經過平衡點，繼續上升，直至停止，這就完成了周期運動的一半；之后配重會在彈簧的恢復力和重力作用下改變方向，開始返回，在返回的過程中，配重會再度經過平衡點，并回到頂部最高點。所有的過程我們稱之為一個循環，總共由4個部份組成。
配重完成一個循環的時間稱作周期。
因為運動的過程是以秒為單位測度的，所以周期的單位也是秒，我們用小寫字母T來表示。假如我們把這個定義反過來問：在一段時間內發生了多少個周期的運動？這么我們就有了另外一個評判周期運動的數學量：頻度。頻度用f表示，單位為赫茲（Hz）。周期與頻度的關系如下:
周期和頻度存在直接的聯系。周期是完成一個完整的循環運動所須要的時間，頻度是單位時間內完成的周期數。假如我們曉得其中一個數學量就很容易得到另外一個。
在周期運動中都會常常提及的另一個定義：振幅。上文中的彈簧配重的最大位移，這就是振幅。用小寫字母A表示，單位為米（m）。
振幅是一個物體離開平衡位置的最大位移。
簡諧振子（運動）
關于彈簧，上文早已講了一些基本的常識，如今介紹一下簡諧運動。
彈簧的一端聯接一個重物，而另一端聯接到一個剛性支架上。當系統靜止在平衡位置時，作用在重物上的合力為零。質量從平衡位置發生位移時，彈簧會形成一種使整個系統恢復平衡的彈力，這就是我們熟知的胡克定律。
胡克定律說明了拉伸或壓縮彈簧所需的力(F)與發生的位移X成線性關系。彈簧的彈力總是跟配重運動方向和位移X的方向相反，由于當彈簧被壓縮時，彈力把整個系統往下推，當彈簧被拉長時，彈力會把整個系統往前拉，彈力趨于于使系統恢復平衡。這就是公式F=-kx有個減號的緣由。
在公式中F(單位為牛頓)為恢復力（彈力），x為位移(單位為米)，k為彈性系數，該常數取決于彈簧的材料。
我們來瞧瞧整個運動過程：
當我們把一個重物掛在彈簧上，系統處于靜止，這時重物處于平衡位置，合力為零。由于彈簧的力等于把物體拉向地面的力。這時我們從平衡位置將重物移開之后松手，重物會遭到彈簧所形成的凈恢復力，重物會向平衡位置聯通。越接近平衡位置，恢復力就越小，直至在平衡位置降為零，這時加速度為零。在我們剛松手時，加速度最大，這就是簡諧運動的起點。
在重物抵達平衡時，因為動能的緣由，彈簧會被壓縮，重物繼續向下運動。當彈簧壓縮時，向上的加速度降低，恢復力使重物減速，直至重物在振幅處停止，此時向上的加速度再度達到最大值，重物開始增長，而加速度也再度增長，直至再度達到平衡位置時降為零。當重物經過平衡位置時，開始減速，直至抵達開始時的頂部振幅。
假如整個過程中沒有能量損失，運動都會仍然重復，我們就有了一個簡諧振子。因為減振會導致能量耗損，振幅會隨著時間的推移越來越小，直至最后為零，運動也將停止。
一個做勻速圓周運動的物體在一條半徑上的投影所做的運動即為簡諧運動。
這個過程中的能量變化是如何樣的
我們首先要曉得的是，一個物體靜止時有勢能，有速率時有動能，我們能夠很容易地理解這個運動過程中的能量變化。我們來看右圖：
總能量是動能和彈性勢能的和。我們從振幅的最高位置開始，物體是靜止的。由于此車速度為零，所以沒有動能，整個能量是勢能。當物體開始運動時，勢能減少，而動能隨著速率的降低而降低。在平衡狀態時，勢能為零，整個能量為動能。當物體繼續上移到振幅較高的位置時，動能降低，勢能降低，直至上升到振幅的位置，動能為零，整個能量都是勢能
我們發覺，位移、速度和加速度都具有周期性。我們可以解微分等式得到三角函數解。
上圖都是微分等式的解和角頻度ω=2πf。
從右圖中可以看出，位移從振幅開始，速率從0開始，加速度從最大值開始。函數是周期性變化的。
如今我們來看一個關于周期和頻度的重要問題。也就是周期和頻度的決定誘因是哪些？假如我們改變質量，運動會改變嗎？假如我們有相同的質量，但降低振幅，運動會改變嗎?
周期和頻度與振幅無關
不管你把重物向上拉幾分米還是幾米，周期和頻度都是一樣的。我們來瞧瞧為何會這樣。我們曉得，角頻度是ω=2πf，我們也曉得角動量取決于質量和彈簧常數，如以下公式所示:
我們如今要做的就是把這兩個公式結合上去，瞧瞧會得到哪些。
總結
如同我們一開始說的，為了得到聲音，我們首先須要討論波，討論波之前，我們須要了解震動。上文我們早已述說了震動以及從位移、加速度到能量和頻度的簡諧運動。上篇文章我們就說一下波的數學學。