動(dòng)量守恒定理及其應(yīng)用·典型例題精析
[例題1]平淡的水面下浮著一只長(zhǎng)l=6m,質(zhì)量為550kg的船,船尾上站著一質(zhì)量為m=50kg的人,開始時(shí),,問當(dāng)人從船尾走到船舷時(shí),船將行進(jìn)多遠(yuǎn)?
[思路點(diǎn)撥],船及人所受重力與水對(duì)船的壓強(qiáng)平衡,可以覺得人在船上行走時(shí)系統(tǒng)動(dòng)量守恒,開始時(shí)人和船都停止,系統(tǒng)總動(dòng)量為零,當(dāng)人在船上走動(dòng)時(shí),無論人的速率怎么,系統(tǒng)的總動(dòng)量都保持為零不變.
[解題過程]取人運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较?設(shè)人岸邊的速率為v,船岸邊的速率為V,其方向與v相反,由動(dòng)量守恒定理有
0=mv+(-MV).
解得兩速率大小之比為
此結(jié)果對(duì)于人在船上行走過程的任剎那時(shí)都組建.
取人在船上行走時(shí)任一極短時(shí)間Δti,在此時(shí)間內(nèi)人和船都可視為勻速運(yùn)動(dòng),此時(shí)間內(nèi)人和船相對(duì)地面聯(lián)通的距離分別為ΔSmi=viΔti和ΔSMi=ViΔti動(dòng)量守恒定律典型例題,由此有
這樣人從船尾走到船頭時(shí),人和船相對(duì)地面聯(lián)通的總距離分別為
Sm=∑ΔSmi,SM=∑ΔSMi.
由圖中幾何關(guān)系可知Sm+SM=,人從船尾走到船頭時(shí),船行進(jìn)的距離為
代入數(shù)據(jù)有
SM=m.
[小結(jié)]本題表明,在動(dòng)量守恒條件得到滿足的過程中動(dòng)量守恒定律典型例題,系統(tǒng)任剎那時(shí)的總動(dòng)量保持不變.
[例題2]如圖7-9示,物塊A、B質(zhì)量分別為mA、mB,用細(xì)繩聯(lián)接,在水平恒力F的作用下A、B一起沿水平面做勻速直線運(yùn)動(dòng),速率為v,如運(yùn)動(dòng)過程中,燒斷細(xì)繩,仍保持力F大小方向不變,則當(dāng)物塊B停出來時(shí),物塊A的速率為多大?
[思路點(diǎn)撥],A、B一起做勻速直線運(yùn)動(dòng),故系統(tǒng)所受外力和為零,水平方向系統(tǒng)所受外力計(jì)有拉力F,物塊A遭到地面的磨擦力fA,物體B遭到地面的磨擦力fB,且F=fA+,直至B停止運(yùn)動(dòng)前F與fA、fB均保持不變,故在此過程中系統(tǒng)所受外力和仍為零,.
[解題過程]取初速v的方向?yàn)檎较?設(shè)繩斷后A、B的速率大小分別為v′A、v′B,由動(dòng)量守恒定理有
(mA+mB)v=mAv′A+mBv′B.
[小結(jié)](1)本題表明動(dòng)量守恒定理除了可以解決互相作用時(shí)間極短的碰撞等類問題,也可以解決過程持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)的問題.
(2)本題解法彰顯了應(yīng)用動(dòng)量守恒定理解題的特性和優(yōu)點(diǎn):因?yàn)閯?dòng)量守恒定理只考慮系統(tǒng)互相作用前后的狀態(tài),而不考慮互相作用過程中各瞬時(shí)的細(xì)節(jié),所以解決問題非常簡(jiǎn)便,這也是數(shù)學(xué)學(xué)中其他守恒定理(比如機(jī)械能守恒定理)(結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式)或應(yīng)用動(dòng)量定律來求解,,動(dòng)量守恒定理就無能為力了,就得應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定理(結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式)或動(dòng)量定律來求解了.
(3)非常要注意A、B組成的系統(tǒng)動(dòng)量保持不變僅維持到B正好停下為止,隨后系統(tǒng)動(dòng)量則不再守恒,因B停下后其所受的磨擦力fB變?yōu)榱?系統(tǒng)所受外力和不再為零,不再滿足動(dòng)量守恒條件.
[例題3]總質(zhì)量均為M的甲乙兩船在水面上以相同速率v沿仍然線蜂擁勻速航行如圖7-10所示,現(xiàn)自甲船向后以相對(duì)甲船速率u水平向乙船拋一質(zhì)量為m的沙包,