編者按
透鏡是一種重要的光學器件，對透鏡的研究和借助打開了微生物學的房門，也推動了近代數學學的誕生。以凸透鏡為主要成像器件的放大鏡、照相機、投影儀等光學儀器在生活中被廣泛使用。這么凸透鏡的成像背后隱藏著哪些樣的數學規律呢？我們先從玻璃和透鏡的歷史講起。
玻璃導論
玻璃是現代常見的一種材料，被廣泛用于建筑裝潢、光學儀器制造和其他工業領域。玻璃的使用和制造歷史來由已久，并推動了現代科學的發展。
傳說在幾千年前的土耳其、敘利亞一帶，人們在澆鑄青銅器時，不斷有低溫的煤灰掉落在沙地上，當工匠清除工作臺時，發覺地面的一些石子焙燒成了半透明的小球，這就是最初的玻璃。這個說法的真實性早已不可考，但人類使用玻璃的歷史起碼可以溯源到公元前1600年前后，在圖坦卡蒙法老的墓葬中發覺的黃金面具和華麗的胸掛上，都鑲嵌著雕刻細琢的玻璃項鏈。這些初期的玻璃主要是荒漠中發覺的天然玻璃，據猜測它們可能是荒漠地面遭隕鐵撞擊，形成的低溫使砂粒玻璃化而產生的。另一種被古人廣泛使用的天然玻璃是黑曜石，它是含硅量較高的巖漿冷凝后產生的玻璃化火山巖。
▲圖坦卡蒙胸掛，中央的甲蟲為天然玻璃所制
在青銅時代晚期，人們開始制造人工玻璃。在西亞和希臘地區，玻璃制造技術迅速發展，考古發覺此時人們早已能制造玻璃錠、玻璃手鏈和簡單的玻璃器皿。在戰國時代在探究凸透鏡成像的規律是，這種玻璃制品也通過游牧馬賊，由西亞傳入中國，并被中國匠人仿造。
▲出土的公元前14世紀伊朗玻璃珠
▲曾侯乙墓出土的戰國玻璃珠
玻璃制造技術在羅馬帝國時期得到了進一步的發展，匠人們制造出各類精致的玻璃藝術品。古羅馬先進的玻璃制造技術也隨著唐代東西方的貿易交流，沿絲綢之路傳入漢朝時的中國。中國匠人仿造古羅馬的工藝，生產出五顏三色的玻璃，稱為琉璃。
▲羅馬帝國時代制造的玻璃杯
▲中國唐代琉璃碗
中世紀，玻璃早已在法國被廣泛使用。十三世紀時，威尼斯成為意大利最大的玻璃制造中心。經過匠人們的勤于探求，總算在1450年前后，由威尼斯巧匠安吉洛·巴羅維耶()制做出了第一塊純凈透明的無色水晶玻璃。
▲1500年左右的威尼斯水晶玻璃杯
在才能生產無色透明玻璃的基礎上，磨制棱鏡、透鏡的工藝也逐步發展成熟。十七世紀，法國的列文虎克借助自己高超的透鏡磨制技術，改進了日本人羅伯特·胡克發明的顯微鏡，打開了微生物世界的房門，伽利略借助自己磨制的鏡框，發明了第一臺望遠鏡，打開了近代數學學發展的房門。
▲伽利略和他的望遠鏡
▲列文虎克和他觀察到的微小世界
遺憾的是，在中國，玻璃制造技術停滯不前。直至清末時從西方引進現代玻璃制造技術之前，仍然沒有制造出純凈透明的玻璃，也沒有機會發展出透鏡制造工藝，而中國匠人生產出的七彩琉璃，大部份被用于皇家和宗教用具以及建筑裝潢中。
▲中國琉璃建筑
對光的研究
光學研究在西方起步較早。古埃及時代，一大批哲學家從哲學的角度撰寫了許多關于視覺和光學研究的專著。受宗教中覺得光是神圣的這一思想的影響，西方的光學研究仍然遭到人們的注重，但直至開普勒、伽利略、牛頓和惠更斯的開創性工作之前，光的性質研究更多是逗留在哲學和神學的角度。惠更斯的波動學說得到實驗和理論物理方式的強力支持，光波的干涉、衍射理論得以完善發展。近代麥克斯韋和赫茲的工作證明了光是一種電磁波，現代化學表明在探究凸透鏡成像的規律是，光還是一種粒子，具有波粒二象性。
古埃及的大物理家歐幾里得，在研究光學時，引入了幾何學的方式，成立了幾何光學。在物體的線度遠小于波長時，光波的衍射現象很微弱，此時可以引入“光線”的概念來表示光的傳播方向，光在同種介質中沿直線傳播，在不同介質之間傳播時遵循反射和折射定理。幾何光學理論被廣泛用于光學儀器的設計中。
凸透鏡的成像規律
凸透鏡是一種中間厚邊沿薄的透鏡，它具有把平行于光軸的光線凝聚在焦點的特點，被廣泛用于生活中的各類光學成像儀器中。
對于薄凸透鏡（寬度較小，且大于透鏡半徑），使用幾何光學理論考慮其成像時，存在三種特殊光線：
(1)通過透鏡光心的光線，其傳播方向不變
(2)平行于光軸入射的光線，經過透鏡折射后，通過透鏡另左側的焦點
(3)通過雙側焦點的光線，經過透鏡折射后，平行于光軸出射
借助這三種光線的特性，結合平面幾何知識，可以幫助我們輕易推導入薄凸透鏡成像時物距、像距和焦距之間的關系：
在實際運用中，倘若涉及單個薄凸透鏡，針對不同的物距區間，都可以借助此公式，判定成像的像距區間。
探究凸透鏡成像的規律，是八年級化學重點內容，也是《義務教育數學課程標準》（2011版）規定的20個中學生必做實驗之一。通過虛擬現實技術和先進的手勢追蹤交互技術，我們在虛擬實驗室3D環境中創建了這個虛擬仿真實驗，突破了傳統實驗室由于課程安排帶來的空間和時間限制，使實驗基礎薄弱的中學生有多次反復練習的機會，來探求在不同物距范圍內凸透鏡成像時的數學規律。
▲《探究凸透鏡成像規律》VR手勢實驗操作實錄片斷
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