1.開普勒第一定理
上回說到，由天體運動的橢圓性質(zhì)（即直接借助開普勒第一定理），我們可以由機械能守恒定理和角動量守恒定理推導(dǎo)入開普勒第二定理和第三定理，為了文章的簡約性而跳過了第一定理。為了體系的完整性，接出來，我們來單獨講講開普勒第一定理（前方公式預(yù)警(≧?≦)/）
開普勒三定理（圖片來始于網(wǎng)路）2.有心力及其勢能
在談開普勒第一定理前，我們先來看一個概念：有心力，這些力有一個特殊的性質(zhì)：有心力的作用線仍然過一定點，也就是說，物體所受的有心力仍舊指向（或背離）空間中某個確定的點，這個定點我們稱它為力心，常見的萬有引力和點電荷間的互相作用就是具有這些性質(zhì)的力。我們不妨令這個力的表達(dá)式為
，式中r為以力心為極點構(gòu)建的極座標(biāo)系下到場點的極徑，我們規(guī)定：當(dāng)F＞0時，其方向徑向向外，當(dāng)F＜0時，其方向徑向向內(nèi)指向力心，
分別為徑向、橫向的單位矢量。假如這些有心力的表達(dá)式挺好（好到哪些程度呢，它真的就只是r的單值函數(shù)，如k／r，kr一類的方式），我們完全可以定義一個有心力勢能（可以證明，這類力場是保守力場，其場力對物體做的功和路徑無關(guān)，即其旋度為零）
，類比重力勢能，保守力做正功，物體勢能降低，保守力做負(fù)功，物體勢能降低，在距力心r～r＋dr的距離處，我們近似F（r）恒定，其在這個微小矢徑變化過程中做的功為
，由此得到F（r）的大小：
，實際上，更通常性的表達(dá)式可以寫成：
，即某點勢能對空間的梯度負(fù)值即為該點上該物體所受的場力。這個事情再接出來的推論中也會用到。
既然我們要證天體的軌道是一個橢圓，這么因為橢圓是一個平面圖形，接出來我們首先要證明受僅有心力的物體必然在一確定的平面上運動。若某有心力場內(nèi)有一質(zhì)點m，其矢徑為r，
我們用牛頓定理給出F（r）的表達(dá)式：
，
，我們不難發(fā)覺它們具有相同的單位矢量項如何證明角動量守恒定律，因為個同向矢量叉積為零的特殊性質(zhì)，我們對r和F進(jìn)行矢量叉乘：
，即：
（為了湊出全微分，我們降低了第2項v*dr／dt，而dr／dt恰好是速率v的標(biāo)準(zhǔn)定義，故v*v＝0，這相當(dāng)于第2項是“白送”給我們的）這就證明了
是某個常矢量
，即v和r一直在以h為一個法向量確定的平面內(nèi)，既然平面的法向量不變，則平面的位置急劇確定。故前述命題得證。
3.比耐多項式
搞定了平面的問題，如今我們開始即將推論天體的軌跡多項式
（圖片來始于網(wǎng)路）
在力心－質(zhì)點的體系下，我們由機械能守恒定理首先可以得到這樣的表達(dá)式：
，式中E是質(zhì)點的總機械能，（
代表變量對時間導(dǎo)數(shù)，其分別為徑向速率和角速率），由守恒量
的定義，令：
，為了簡化變量，我們對dr／dt項進(jìn)行處理：
，將上式和守恒量h代入能量表達(dá)式如何證明角動量守恒定律，得到：
，接出來即是解出這個微分多項式的關(guān)鍵一步：我們注意到這個多項式的分母都含r＾4或r＾2，于是乎考慮換元，令
，則
，再代入上式：
，為了消掉常量E，我們對上多項式兩側(cè)對
求一階行列式，有：
，注意到
，上式即：
，因為在通常情況下，甚少有
，故：
，此即有心力場中質(zhì)點運動滿足的軌跡微分多項式，又名比耐多項式
特殊地，我們將萬有引力的表達(dá)式代入：
，式中G、M、h均為常量，這是一個和矢徑和極角有關(guān)的二階線性微分多項式，其通解和特解的組合即為其解：
，式中A、B均為積分常量。因為我們可以選取恰當(dāng)?shù)臉O軸使
時，
，故選取該極軸后可定出B＝0，即：
，令
，其多項式亦可寫為
，不難發(fā)覺這是一個極座標(biāo)下圓椎曲線的標(biāo)準(zhǔn)多項式，其中p為半弧長，e為離心律。因為r的極值分別在
和
處取到，故
，由能量表達(dá)式有如下的一元二次方程：
，上述等式的2個根即為
的2個極值，故由韋達(dá)定律：
，由前面2式得到天體運動的最終表達(dá)式：
，由此可知，天體的運動方式完全由年率條件E和h確定，當(dāng)離心律
時，天體的運動軌跡是橢圓。其實啦，還有可能是拋物線、雙曲線。
4.結(jié)語
里面我們早已通過比耐多項式和萬有引力定理推導(dǎo)入了開普勒第一定理。事實上，在化學(xué)學(xué)史上卻剛好相反：先是有了第谷的觀測數(shù)據(jù)和開普勒的三大定理，后才有牛頓憑著他強悍的物理能力在現(xiàn)象中構(gòu)建模型并推導(dǎo)入了萬有引力的表達(dá)式。人類對宇宙的探求就是這樣一個接力的過程，而在這個過程的后期，我們常常能夠認(rèn)清楚現(xiàn)象的數(shù)學(xué)學(xué)本質(zhì)。化學(xué)學(xué)似乎會經(jīng)歷一短相對停滯的發(fā)展時期，但數(shù)學(xué)人的征途，永遠(yuǎn)是無邊際、令人神往的星辰大海
我們的征途是星辰大海（圖片來始于網(wǎng)路）