1.開普勒第一定理
上回說到，由天體運動的橢圓性質（即直接借助開普勒第一定理），我們可以由機械能守恒定理和角動量守恒定理推導入開普勒第二定理和第三定理，為了文章的簡約性而跳過了第一定理。為了體系的完整性，接出來，我們來單獨講講開普勒第一定理（前方公式預警(≧?≦)/）
開普勒三定理（圖片來始于網路）2.有心力及其勢能
在談開普勒第一定理前，我們先來看一個概念：有心力，這些力有一個特殊的性質：有心力的作用線仍然過一定點，也就是說，物體所受的有心力仍舊指向（或背離）空間中某個確定的點，這個定點我們稱它為力心，常見的萬有引力和點電荷間的互相作用就是具有這些性質的力。我們不妨令這個力的表達式為
，式中r為以力心為極點構建的極座標系下到場點的極徑，我們規定：當F＞0時，其方向徑向向外，當F＜0時，其方向徑向向內指向力心，
分別為徑向、橫向的單位矢量。假如這些有心力的表達式挺好（好到哪些程度呢，它真的就只是r的單值函數，如k／r，kr一類的方式），我們完全可以定義一個有心力勢能（可以證明，這類力場是保守力場，其場力對物體做的功和路徑無關，即其旋度為零）
，類比重力勢能，保守力做正功，物體勢能降低，保守力做負功，物體勢能降低，在距力心r～r＋dr的距離處，我們近似F（r）恒定，其在這個微小矢徑變化過程中做的功為
，由此得到F（r）的大?。?span style="display:none">f2n物理好資源網(原物理ok網)
，實際上，更通常性的表達式可以寫成：
，即某點勢能對空間的梯度負值即為該點上該物體所受的場力。這個事情再接出來的推論中也會用到。
既然我們要證天體的軌道是一個橢圓，這么因為橢圓是一個平面圖形，接出來我們首先要證明受僅有心力的物體必然在一確定的平面上運動。若某有心力場內有一質點m，其矢徑為r，
我們用牛頓定理給出F（r）的表達式：
，
，我們不難發覺它們具有相同的單位矢量項如何證明角動量守恒定律，因為個同向矢量叉積為零的特殊性質，我們對r和F進行矢量叉乘：
，即：
（為了湊出全微分，我們降低了第2項v*dr／dt，而dr／dt恰好是速率v的標準定義，故v*v＝0，這相當于第2項是“白送”給我們的）這就證明了
是某個常矢量
，即v和r一直在以h為一個法向量確定的平面內，既然平面的法向量不變，則平面的位置急劇確定。故前述命題得證。
3.比耐多項式
搞定了平面的問題，如今我們開始即將推論天體的軌跡多項式
（圖片來始于網路）
在力心－質點的體系下，我們由機械能守恒定理首先可以得到這樣的表達式：
，式中E是質點的總機械能，（
代表變量對時間導數，其分別為徑向速率和角速率），由守恒量
的定義，令：
，為了簡化變量，我們對dr／dt項進行處理：
，將上式和守恒量h代入能量表達式如何證明角動量守恒定律，得到：
，接出來即是解出這個微分多項式的關鍵一步：我們注意到這個多項式的分母都含r＾4或r＾2，于是乎考慮換元，令
，則
，再代入上式：
，為了消掉常量E，我們對上多項式兩側對
求一階行列式，有：
，注意到
，上式即：
，因為在通常情況下，甚少有
，故：
，此即有心力場中質點運動滿足的軌跡微分多項式，又名比耐多項式
特殊地，我們將萬有引力的表達式代入：
，式中G、M、h均為常量，這是一個和矢徑和極角有關的二階線性微分多項式，其通解和特解的組合即為其解：
，式中A、B均為積分常量。因為我們可以選取恰當的極軸使
時，
，故選取該極軸后可定出B＝0，即：
，令
，其多項式亦可寫為
，不難發覺這是一個極座標下圓椎曲線的標準多項式，其中p為半弧長，e為離心律。因為r的極值分別在
和
處取到，故
，由能量表達式有如下的一元二次方程：
，上述等式的2個根即為
的2個極值，故由韋達定律：
，由前面2式得到天體運動的最終表達式：
，由此可知，天體的運動方式完全由年率條件E和h確定，當離心律
時，天體的運動軌跡是橢圓。其實啦，還有可能是拋物線、雙曲線。
4.結語
里面我們早已通過比耐多項式和萬有引力定理推導入了開普勒第一定理。事實上，在化學學史上卻剛好相反：先是有了第谷的觀測數據和開普勒的三大定理，后才有牛頓憑著他強悍的物理能力在現象中構建模型并推導入了萬有引力的表達式。人類對宇宙的探求就是這樣一個接力的過程，而在這個過程的后期，我們常常能夠認清楚現象的數學學本質?；瘜W學似乎會經歷一短相對停滯的發展時期，但數學人的征途，永遠是無邊際、令人神往的星辰大海
我們的征途是星辰大海（圖片來始于網路）
