開普勒定律的推導及應用 江蘇南京師范大學物科院 王勇 江蘇海安曲塘中學 周延懷 隨著人類航天技術的飛速發展和我國嫦娥繞月衛星的發射成功，以天體運動為載體的問題將成為今后考查熱點。在現行的高中物理教材中主要引用了開普勒三大定律來描述了天體的運動的規律，這三條定律的主要內容如下： （1）所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽位于橢圓軌道的一個焦點上。 （2）對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過相等的面積。 （3）所有行星的軌道半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值。 至于行星繞太陽的軌道為何是橢圓以及中的常量C與那些量相關并無說明。為了更深入的理解天體和人造衛星的運行規律，本文將以橢圓的性質為基礎從理論上推導開普勒定律。 一、開普勒第一定律 1．地球運行的特點 （1）由于地球始終繞太陽運動，則太陽對地球的萬有引力的力矩始終為零，所以地球在運動過程中角動量守恒。 （2）若把太陽與地球當作一個系統，由于萬有引力為保守力且無外力作用在這個系統上，所以系統機械能守恒。 2．地球運行軌跡分析 地球在有心力場中作平面運動且萬有引力的作用線始終通過太陽，所以建立如圖所示的極坐標系，則P點坐標為(r，θ)。 若太陽質量為M，地球質量為m，極徑為r時地球運行的運行速度為v。 當地球的運行速度與極徑r垂直時，則地球運行過程中的角動量 （1） 若取無窮遠處為引力勢能的零參考點，則引力勢能，地球在運行過程中的機械能 （2） （1）式代入（2）式得： （3） 由式（3）得： （4） 由式（4）可知，當地球的運行速度與極徑r垂直時，地球運行的極徑r有兩解，由于初始假設地球的運行速度與極徑垂直，所以r為地球處在近日點和遠日點距太陽的距離?？紤]到地球的這兩個位置在極坐標系中分別相當于和，可把式（4）中的號改寫為更普遍的形式極坐標方程。 則地球的運行軌跡方程為 （5） （5）式與圓錐曲線的極坐標方程吻合，其中 （p為決定圓錐曲線的開口），（e為偏心率，決定運行軌跡的形狀），所以地球的運行軌跡為圓錐曲線。由于地球繞太陽運動時E<0，則圓錐曲線的偏心率，所以地球繞太陽運行的軌跡為橢圓。 3．人造星體的變軌 由于運載火箭發射能力的局限，人造星體往往不能直接由火箭送入最終運行的空間軌道，若要使人造星體到達預定的軌道，要在地面跟蹤測控網的跟蹤測控下，選擇合適時機向衛星上的發動機發出點火指令使人造星體的速度增加（機械能增加），進而達到改變衛星運行軌道的目的。如圖所示最初人造星體直接由火箭送入近地軌道1，此時，偏心率e=0，人造星體運行的軌跡為圓；當到達A點時，人造星體發動機點火，此時<0，偏心率0<1，運行的軌跡為橢圓軌道2；當到達B點時，人造星體發動機再次點火，當時，偏心率e=0，人造星體將在圓軌道3上運行；當到達B點時人造星發動機再次點火，人造星體將在開口更大的橢圓軌道4上運動，人造星體將離地球越來越遠，當地球對它的引力小于其它星體對它的引力時，人造星體將脫離地球的束縛奔向其它星體（如嫦娥一號衛星）。 二、開普勒第二定律 行星繞太陽的軌道為橢圓，若在時刻t行星位于A點，經dt時間后行星位于點B，在此時間內行星的極徑r轉過的角度為dθ，則AOB所圍的面積 （1） （1）式除以dt有 （2） 由于角動量 （3） （3）式代入（2）式得 由于L是恒量，所以單位時間內極徑所掃過的面積也是恒量。所以地球在近日點運行的快，在遠地點運行的慢。如圖人造星體從軌道1變化到軌道3的過程中，若點火前后A、B兩點的速度分別為V1．V2．V3．V4，則點火前后速度V1V3；由于人造星體在軌道1。軌道3上做勻速圓周運動，以V1>V4；故V2>V1>V4>V3。 三、開普勒第三定律 行星繞太陽運動橢圓軌道的面積，根據橢圓的性質則橢圓的面積（a為長軸，b為短軸）由于單位時間內極徑所掃過的面積 則周期 （1） 根據橢圓的性質和開普勒第一定律，半長軸 （2） （2）式得 （2）式代入（1）式得 （3） 根據橢圓的性質，橢圓的半短軸 ，則 （4） 式（4）代入（3）式得C，由此式可知繞同一中心天體運行的人造星體軌道半長軸的三次方跟它們的公轉周期的二次方的比值由中心天體的質量所決定。 例 飛船沿半徑為R 的圓周繞地球運動，其周期為T，如圖所示如果飛船要返回地面，可在軌道上的某點A將速度降低到適當的數值，從而使飛船沿著地心為焦點的橢圓軌道運行，橢圓與地球表面在B點相切，求飛船由A 點到B 點所需的時間。(已知地球半徑為R0) 分析：無論飛船是沿圓軌道運行還是沿橢圓軌道運行，飛船都是繞地球運動，所以運行時間與軌道之間的關系滿足C，故有 解得 則飛船由A點到B 點所需的時間為；在橢圓軌道3上a、b兩點分別為近地點和遠地點，則速度v2>，v3>網址： SWi物理好資源網(原物理ok網)