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[!--downpath--]高等數(shù)學(xué)“彈性”解題指導(dǎo)與實例分析
【方法展示探索規(guī)律】
關(guān)于彈簧測力計的各類問題及其解決方法：
圍繞彈簧測力計進行命題考試時，主要考察其原理、讀數(shù)和使用方法。
(1)使用方法考察：解決此類問題時，采用整體法和隔離法。 整體法是從整體出發(fā)，從部分與整體的聯(lián)系中闡明整個系統(tǒng)的運動規(guī)律，進而達到問題的最佳解決方案的一種解決問題的技術(shù)。 以整體概念為基礎(chǔ)，將系統(tǒng)作為一個整體進行分析，按照從系統(tǒng)到部分、從整體到個體的思維路徑，找出未知量與已知量之間的關(guān)系，通過分析舉一反三。 隔離法是將我們要研究的對象的一部分從整體中分離出來，分析確定的研究對象所受的力，然后根據(jù)關(guān)于這兩種力平衡的知識來解決問題的方法。
(2)彈簧測力計原理的考查：關(guān)鍵是要掌握原理的內(nèi)容：在彈性極限內(nèi)，彈簧的伸長量與其所受的拉力成反比。 二是注意運用物理中的圖像法和解析法（也稱公式法）進行分析和解答。
(3)讀數(shù)的檢查：解題的關(guān)鍵是找出它的電阻值和分度值，即找出每個大??格子和每個小格子所代表的示值。
例1 小紅有一個很輕的螺旋彈簧。 她想用這個彈簧做一個彈簧測力計。 因此，她首先通過實驗研究彈簧的伸長與懸浮物重力的關(guān)系。 實驗記錄如下：
(1) 錄音表格中的兩個空格是錄音時不小心丟失的兩個數(shù)據(jù)。 請幫助小紅根據(jù)表格中的其他數(shù)據(jù)，將表格中缺失的兩項數(shù)據(jù)記錄下來。
(2)根據(jù)你對記錄數(shù)據(jù)的分析，你會建議小紅做的彈簧測力計的檢測范圍是。
【分析】仔細分析表中給出的數(shù)據(jù)可知，彈簧每拉伸5cm，懸浮物的重力就減少0.098N。 根據(jù)這個規(guī)則，可以估計出兩個缺失的數(shù)據(jù)。 從表中給出的數(shù)據(jù)也可以看出，當?shù)跷镏亓坎怀^0.49N時，彈簧的伸長寬度與吊物重量成反比，在此范圍內(nèi)，制造的秤彈簧測力計是均勻的。 而當物體的重量達到0.588N時，彈簧的伸長量不再與懸掛物體的重量成反比，由此可見，用這種彈簧制成的彈簧測力計的檢測范圍應(yīng)設(shè)為0-0.49N。 所以答案應(yīng)該是：（1）0.216； 34.5 (2) 0～0.49N。
例2 如圖（A）所示，用兩個大小相等、方向相反的力F1、F2拉動彈簧測力計。 若兩個力的大小為2N，問：彈簧測力計的讀數(shù)與兩個力的合力分別為多少？
[分析] 在同一直線上兩個方向相反的力的合成中，合力的大小是兩個力之差，所以合力為零。 對于彈簧測力計的讀數(shù)，我們可以設(shè)想：將彈簧測力計的一端固定在墻上，另一端用2N的拉力拉動掛鉤，如圖（B）所示。 實際上，彈簧力計的讀數(shù)是2N。 此時外壁被彈簧測力計向右拉，為2N。 根據(jù)物體之間的力是相互的，且相互的力大小相等的原理，墻壁對著彈簧測力計向左有一個拉力，其大小為2N。 此時彈簧測力計所受的力與圖（A）所示相同，故圖中彈簧測力計的示值為2N。
【點評】本題考查的是彈簧測力計的讀數(shù)和兩個力合成的相關(guān)知識。 對于不同方法的效果，有時療效是一樣的。 對于不熟悉的問題，我們可以根據(jù)所學(xué)的知識，將其轉(zhuǎn)化為更清晰的方法，方便地解決問題。
【創(chuàng)新學(xué)習(xí)拓展視野】
例3 幾個朋友用同一個彈簧拉緊器來比較手腕的力量。 張緊器上有三個彈簧。 結(jié)果大家右手都可以伸直了，那么（）
A. 手腕粗的人拉力大 B. 脖子長的人拉力大
C. 越重的人使用的拉力越大 D. 每個人使用的拉力都一樣
【分析】由于彈簧所受的拉力與彈簧的粗細成反比，所以彈簧原來的長度是一個定值，但是每個人手指的長度是不一樣的，所以手指長的人把自己的手指伸長腿 彈簧拉得越長，彈簧拉得越長，使用的拉力就越大，所以B正確。 而對于手腕力量大的人和體重大的人來說，如果伸直雙腿時彈簧不拉長，他們所用的拉力也就不大。 答案是B。
【解析】無論是彈簧測力計還是彈簧拉緊器，其主要結(jié)構(gòu)都有彈簧，其制造原理也在彈性極限之內(nèi)。 彈簧的伸長率與其承受的張力成反比。 所以，遇到這種問題，只需要看彈簧的拉伸寬度就可以判斷拉力的大小。
[展開] 小李在電視上看到一種體育娛樂節(jié)目：一個人吊在一根很長的橡皮繩下，在空中自由上下擺動。 小李發(fā)現(xiàn)，無論這個人怎么動，他下次所花的時間總是一樣的。 小李想要否定這個觀察的普遍性，四個朋友A、B、C、D分別向他提出了建議。
A：多問幾個人，以多數(shù)人的意見為準。
B：問老師。
C：用橡皮繩掛沙袋做實驗，測試不同幅度來回所需時間。
丁：打個電話問問主持人就可以了。
如果以上四種方式得出的推論存在差異，你更相信哪一種？ 簡要說明原因。
（答案：我最相信C。因為化學(xué)實驗是檢驗化學(xué)理論是否正確的最終標準）
例4 下列關(guān)于彈力產(chǎn)生的說法正確的是：
A. 在桌子上放一疊書，我們沒有觀察到桌子有什么變化，所以桌子沒有形成彈性
B. 風(fēng)使樹葉彎曲，使樹枝形成彈性
C. 鐵磁鐵使鐵片彎曲，但磁鐵不接觸鐵片，鐵片不形成彈性
D. 將一塊橡皮泥捏成一只小猴子。 由于橡皮泥的形狀發(fā)生了變化彈力產(chǎn)生的條件實驗，小猴子有了彈性
【分析】桌面的形狀在書的壓力下肯定會發(fā)生變化，但我們無法觀察到：風(fēng)和磁鐵分別使書頁和鐵皮發(fā)生彈性變形，所以應(yīng)該有彈力形成； 橡皮泥的變形是非彈性變形，不會形成彈性。 答案：B。
【分析】產(chǎn)生彈力的條件是物體必須具有彈性并發(fā)生彈性變形。 而且，這還不夠。 比如彈簧縮短后無法恢復(fù)原狀，橡皮筋扭動后無法形成彈力等。 因此，在解釋彈力時，應(yīng)在彈性極限內(nèi)加上，否則有彈性。 不一定有彈性的物體。
拓展：用彈弓射箭時，用什么力把沙子射出去？ 是不是怎么拉都能把沙子射出來？
（答：沙子是靠橡皮筋繃緊的彈力彈射出來的，怎么拉也彈不出來，如果拉力超過橡皮筋的彈性極限，橡皮筋就會斷。，沙子無法射出）
實施例5 在檢測范圍內(nèi)，輕彈簧上端掛8N重物時長度為20cm，輕彈簧上端掛5N重物時長度為18.5cm。
【分析】在彈性極限內(nèi)，彈簧的伸長量與其所受的拉力成反比，即第二次外力是第一次的數(shù)倍時，彈簧的第二次伸長量ΔL2為第一次時間ΔL1的若干倍，外力與伸長率有這樣的正比關(guān)系：
，其中，ΔL1=L1-L0，ΔL2=L2-L0（L0為彈簧原長，L1為彈簧被F1=8N拉動時的寬度，L2為彈簧拉動時的寬度被F=5N)拉動，所以，這道題有：
，所以，L0=16cm。 當彈簧長度為17cm時，對應(yīng)的拉力為F3，則：
, 所以 F3=2N。 可以通過比率法得出推論。
【解析】要回答這類問題，必須區(qū)分彈簧的幾個寬度：一個是彈簧的原始長度L0，一個是彈簧的當前寬度L彈力產(chǎn)生的條件實驗，最后一個是彈簧的加長寬度ΔL春天。 兩者的關(guān)系是ΔL=L-L0，與外力成反比的是彈簧伸長的寬度，而不是彈簧的寬度。
【延伸】有一個彈簧，下端固定，上端掛一個3N的物體。 彈簧延伸至 18 厘米。 如果在上端掛一個5N的物體，彈簧會伸長到21cm。 試求： (1) 這個彈簧在沒有物體懸掛時的自由寬度。 (2) 用手拉彈簧上端，彈簧被拉長到24cm，用手拉力是多少？
（答：這個彈簧在沒有懸掛物體時的自由寬度是13.5cm，手放在上面的拉力是7N。）
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