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[!--downpath--][中國中考語文母題一千題](第0001號)(第0001號)巧用“極化恒方程”,“秒殺”一類中考題由向量“極化恒方程”,命制中考試卷的視角恒方程在語文的學習與中研究占有非常重要的位置,同樣,向量的“極化恒方程”在解決向量問題時,具有獨特功能,巧用“極化恒方程”,可以“秒殺”一類中考題。[母題結構]:(極化恒方程)(Ⅰ)(aa+bb)2+(aa-bb)2=2(|aa|2+|bb|2);(Ⅱ)(aa+bb)2-(aa-bb)2=4ab。[母題解析]:(Ⅰ)(aa+bb)2+(aa-bb)2=(aa2+2ab+bb2)+(aa2-2ab+bb2)=2(aa2+bb2)=2(|aa|2+|bb|2);(Ⅱ)(aa+bb)2-(aa-bb)2=(aa2+2ab+bb2)-(aa2-2ab+bb2)=4ab。如圖,極化恒方程(Ⅰ)的幾何意義:平行四邊形兩條對角線的平方和等于四邊的平方和,即|AD|2+|BC|2=2[|AB|2+|AC|2];極化恒方程(Ⅱ)的幾何意義:兩向量的數目積可以表示為以這兩個向量為鄰邊的平四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的41,即ab=41[|AD|2-|BC|2]。
1。借助極化恒方程(Ⅰ),求模的值或最值子題類型Ⅰ:(2013年全省小學語文比賽遼寧海選考題)設aa,bb為兩個非零向量,且|aa|=2,|aa+2bb|=2,則|aa+bb|+|bb|的最大值是。[剖析]:由|aa|=2,|aa+2bb|=2及極化恒方程①,可完善關于|aa+bb|與|bb|的方程|aa+bb|2+|bb|2=4,之后,借助基本不方程即解。[解析]:由[(aa+bb)-bb]2+[(aa+bb)+bb]2=2(|aa+bb|2+|bb|2)?|aa+bb|2+|bb|2=4?|aa+bb|+|bb|≤22|||(|2bba++=22。[點評]:極化恒方程(Ⅰ)有兩個方面的作用:①利用(aa+bb)2+(aa-bb)2=2(|aa|2+|bb|2),已知|aa+bb|,|aa-bb|,|aa|,|bb|中的其中三個的值,求第四個的值;②利用極化恒方程,構造方程解決關于向量模的取值范圍問題。
2。借助極化恒方程(Ⅱ),求數積的值或最值子題類型Ⅱ:(2012年廣西中考試卷)若平面向量aa,bb滿足:|2aa-bb|≤3,則bab的最小值是。[剖析]:由由|2aa+bb|2≥0及恒方程(2aa+bb)2-(2aa-bb)2=8ab,可解。[解析]:由|2aa+bb|2≥0及恒方程(2aa+bb)2-(2aa-bb)2=8ab?-(2aa-bb)2≤8ab?-9≤8ab?ab≥-89?bab的最小值=-89。[點評]:通過恒方程:(aa+bb)2-(aa-bb)2=4bab把向量的數目積與向量的模構建了有機聯系,利用向量模的非負性,可巧妙解決向量數目積的最大值和最小值問題。3。靈活運用極化恒方程,解決相關問題子題類型Ⅲ:(2011年上海中考試卷)已知直角矩形ABCD中極化恒等式的極化是什么意思,AD∥BC,∠ADC=900極化恒等式的極化是什么意思,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動點,則|PA+3PB|的最小值為。[剖析]:如圖,PF=3PB,E為AF的中點,Q為AB的中點,則PA+3PB=2PE;由|PB+PQ|2+|PB-PQ|2=2(|PB|2+|PQ|2)=|PE|2+|QB|2,可解。
[解析]:如圖,設PF=3PB,E為AF的中點,Q為AB的中點,則QE=21BF=PB,PA+3PB=PA+PF=2PE;由于PB+PQ=PE,PB-PQ=QB,則|PB+PQ|2+|PB-PQ|2=2(|PB|2+|PQ|2)=|PE|2+|QB|2;設T為DC的中點,則TQ為矩形的中位線,TQ=21(AD+BC)=23;設CP=a,PT=b,則|PB|2=a2+1,|PQ|2=b2+49,A