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[!--downpath--][中國中考語文母題一千題](第0001號(hào))(第0001號(hào))巧用“極化恒方程”,“秒殺”一類中考題由向量“極化恒方程”,命制中考試卷的視角恒方程在語文的學(xué)習(xí)與中研究占有非常重要的位置,同樣,向量的“極化恒方程”在解決向量問題時(shí),具有獨(dú)特功能,巧用“極化恒方程”,可以“秒殺”一類中考題。[母題結(jié)構(gòu)]:(極化恒方程)(Ⅰ)(aa+bb)2+(aa-bb)2=2(|aa|2+|bb|2);(Ⅱ)(aa+bb)2-(aa-bb)2=4ab。[母題解析]:(Ⅰ)(aa+bb)2+(aa-bb)2=(aa2+2ab+bb2)+(aa2-2ab+bb2)=2(aa2+bb2)=2(|aa|2+|bb|2);(Ⅱ)(aa+bb)2-(aa-bb)2=(aa2+2ab+bb2)-(aa2-2ab+bb2)=4ab。如圖,極化恒方程(Ⅰ)的幾何意義:平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和,即|AD|2+|BC|2=2[|AB|2+|AC|2];極化恒方程(Ⅱ)的幾何意義:兩向量的數(shù)目積可以表示為以這兩個(gè)向量為鄰邊的平四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的41,即ab=41[|AD|2-|BC|2]。
1。借助極化恒方程(Ⅰ),求模的值或最值子題類型Ⅰ:(2013年全省小學(xué)語文比賽遼寧海選考題)設(shè)aa,bb為兩個(gè)非零向量,且|aa|=2,|aa+2bb|=2,則|aa+bb|+|bb|的最大值是。[剖析]:由|aa|=2,|aa+2bb|=2及極化恒方程①,可完善關(guān)于|aa+bb|與|bb|的方程|aa+bb|2+|bb|2=4,之后,借助基本不方程即解。[解析]:由[(aa+bb)-bb]2+[(aa+bb)+bb]2=2(|aa+bb|2+|bb|2)?|aa+bb|2+|bb|2=4?|aa+bb|+|bb|≤22|||(|2bba++=22。[點(diǎn)評(píng)]:極化恒方程(Ⅰ)有兩個(gè)方面的作用:①利用(aa+bb)2+(aa-bb)2=2(|aa|2+|bb|2),已知|aa+bb|,|aa-bb|,|aa|,|bb|中的其中三個(gè)的值,求第四個(gè)的值;②利用極化恒方程,構(gòu)造方程解決關(guān)于向量模的取值范圍問題。
2。借助極化恒方程(Ⅱ),求數(shù)積的值或最值子題類型Ⅱ:(2012年廣西中考試卷)若平面向量aa,bb滿足:|2aa-bb|≤3,則bab的最小值是。[剖析]:由由|2aa+bb|2≥0及恒方程(2aa+bb)2-(2aa-bb)2=8ab,可解。[解析]:由|2aa+bb|2≥0及恒方程(2aa+bb)2-(2aa-bb)2=8ab?-(2aa-bb)2≤8ab?-9≤8ab?ab≥-89?bab的最小值=-89。[點(diǎn)評(píng)]:通過恒方程:(aa+bb)2-(aa-bb)2=4bab把向量的數(shù)目積與向量的模構(gòu)建了有機(jī)聯(lián)系,利用向量模的非負(fù)性,可巧妙解決向量數(shù)目積的最大值和最小值問題。3。靈活運(yùn)用極化恒方程,解決相關(guān)問題子題類型Ⅲ:(2011年上海中考試卷)已知直角矩形ABCD中極化恒等式的極化是什么意思,AD∥BC,∠ADC=900極化恒等式的極化是什么意思,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn),則|PA+3PB|的最小值為。[剖析]:如圖,PF=3PB,E為AF的中點(diǎn),Q為AB的中點(diǎn),則PA+3PB=2PE;由|PB+PQ|2+|PB-PQ|2=2(|PB|2+|PQ|2)=|PE|2+|QB|2,可解。
[解析]:如圖,設(shè)PF=3PB,E為AF的中點(diǎn),Q為AB的中點(diǎn),則QE=21BF=PB,PA+3PB=PA+PF=2PE;由于PB+PQ=PE,PB-PQ=QB,則|PB+PQ|2+|PB-PQ|2=2(|PB|2+|PQ|2)=|PE|2+|QB|2;設(shè)T為DC的中點(diǎn),則TQ為矩形的中位線,TQ=21(AD+BC)=23;設(shè)CP=a,PT=b,則|PB|2=a2+1,|PQ|2=b2+49,A