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[!--downpath--]第九章第九章內積空間和希爾伯特內積空間和希爾伯特()()空間空間9。19。1內積空間的基本概念內積空間的基本概念教學目標:1、掌握內積空間和希爾伯特空間的定義,運用定義就能證明;2、掌握施瓦茨不方程與極化恒方程,并能熟練運用;3、培養中學生具象、理解、概括、歸納能力和遷移能力;教學重點:理解內積空間和希爾伯特空間的定義。教學難點:證明過程及運用。在復歐氏空間中極化恒等式圖片,向量不僅有厚度的概念外,還定義了兩個向量的內積的運算,即若則a與b的內積定義為:其中表示的復共軛,但是內積與向量a的寬度有以下關系由內積定義,可知兩個向量a與b正交等價于。其實,在有限維復歐氏空間中,由(1)定義的內積具有下列性質:在復歐氏空間的歐幾里得幾何學中所用到內積的性質主要是前面三條,因而借助這三條性質,我們也在通常的線性空間中引入內積的的概念。為復數其中定義1設是復線性空間,假如對中任何在兩個向量一復數與之對應,但是滿足下述條件:的內積,稱為內積空間。假如是實的線性空間,則條件3就改為從內積的定義,立刻可以得到下邊的方程為復數其中是內積空間,令這么上的范數。事實上,由內積定義(2)式,不難證明為了證明范數不方程,我們首先證明施瓦茨()不方程:引理1(不方程)按內積成為內積空間,則對中任意向量創立不方程線性相關時,不方程(4)中等號才創立。
證明:假如,易知對一切因此(4)式創立。若,則對每位復數,由內積條件1,有兩側除以,但是開方,即可得到要證的不方程線性相關,通過直接估算,易知(4)式中等號創立,反之,若(4)式中等號創立,假設線性相關。證畢。由不方程,立刻可知滿足范數不方程。事實上所以。稱由(3)式定義的范數為由內積導入的范數,所以內積空間是一種特殊的賦范空間。若按(3)式中范數完備,則稱為空間。是由內積導入的范數,通過估算,不難證明對中任何兩個向量,創立平行四邊形公式它是平面上平行四邊形公式在內積空間中的推廣。反之可以證明,中任何向量,滿足平行四邊形公式(5)極化恒等式圖片,這么一定可在中定義內積就是由內積導入的范數。因而,(5)式是內積空間中范數的特點性質。下邊舉一些內積空間的事例中任意向量,定義即為第七章第８節例４中當時所定義的范數,因而由第七章不成為內積空間．事實上,令,所以不滿足平行四邊形公式(5),這說明中范數不能由內積導入,因此不是內積空間。不成為內積空間。事實上,令所以為此不滿足平行四邊形公式,這就證明了不是內積空間。為內積空間,由(3)給出了上的范數,反之,通過直接估算可以證明,內積與范數之間組建如下不方程為實內積空間時,極化恒方程變為由不方程,立刻可知內積是兩個變元的連續函數,即當收斂,故有界,所以當時,里面不方程右端趨向０,因本節小結理解內積空間和希爾伯特空間的概念,把握施瓦茨不方程與極化恒方程,并能熟練運用。作業教材P264習題1、２．
