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[!--downpath--]中考中經(jīng)常出現(xiàn)的數(shù)學模型中，斜面問題、疊加體模型、含彈簧的關(guān)節(jié)體、傳送帶模型在中考中非常重要，而與彈簧相關(guān)的數(shù)學試卷占據(jù)了相當大的比例。 中考的提出者常常以彈簧為載體來設(shè)計各種試卷。 這類試題涉及靜力學問題、動力學問題、動量守恒和能量守恒問題、振動問題、泛函問題等，幾乎貫穿了整個熱學知識體系。
對于彈簧來說，從受力的角度來看，彈簧上的彈力是變力； 從能量的角度來看，彈簧是一種能量儲存裝置。 。
1.靜力學中的彈簧問題
(1)胡克定律：F=kx，ΔF=k·Δx。
（2）對彈簧秤兩端施加不同的拉力（沿軸向），彈簧秤的示值必須等于吊鉤上的拉力。
●例4 如圖9-12A所示，兩個鐵塊A、B的質(zhì)量分別為m1、m2，兩個輕彈簧的剛度系數(shù)分別為k1、k2。 兩個彈簧分別連接A、B。整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。 現(xiàn)在將鐵塊A輕輕向下提起，直至下方彈簧對地面的壓力恰好為零，在此過程中A、B的重力勢能減小（）
【分析】以A、B以及它們之間的彈簧組成的整體為研究對象，那么當下彈簧對地面的壓力為零時，將A抬起的力F正好為：
F=(m1+m2)g
假設(shè)在此過程中前部和底部彈簧分別伸長x1和x2，如圖9-12B所示，由胡克定律得到：
因此，A和B的約簡重力勢能為：
．
【答案】D
【點評】①計算內(nèi)彈簧的伸長率時，很多同學會先估計原始壓縮，再估計后來的伸長，然后將兩者相乘，但不如前面分析中直接用Δx=ΔF/估計 k 更快更方便。
②通過比較可以看出，重力勢能的減少并不等于向下的力所做的功
．
2.彈簧動力學問題
（1）瞬時加速度問題（與光繩、光桿不同）：彈簧一端固定，另一端連接物體，變形不會突然變化，彈力也不會突然變化。
(2)如圖9-13所示，當A、B被壓下，去除外力后，當彈簧恢復到原來的長度時，B、A開始分離。
圖9-13
●例5：彈簧秤秤盤的質(zhì)量為m1=1.5kg，秤盤內(nèi)放置質(zhì)量為m2=10.5kg的物體P。 彈簧的質(zhì)量不計算，其剛度系數(shù)k=800N/m。 整個系統(tǒng)處于靜態(tài)狀態(tài)，如圖9-14所示。
現(xiàn)在對 P 施加垂直向下的力 F，使 P 從靜止狀態(tài)開始以勻加速直線向下運動。 已知F在前0.2s內(nèi)變化，0.2s后保持恒定。 求F值的最大值和最小值。 （取g=10m/s2）
【分析】彈簧初始時刻的壓縮量為：
x0=((m1+m2)g/k=0.15m
當秤盤提升高度為x時，P與秤盤分離，分離時間為：
從題意來看，對于P在0~0.2s內(nèi)的運動：
1/2)at2=x
解：x=0.12m，a=6m/s2
因此，在平衡位置，拉力有最小值Fmin=(m1+m2)a=72N
分離瞬間，拉力達到最大值Fmax=m2g+m2a=168N。
[答案]
【點評】對于本例描述的化學過程，需要注意的是，分離瞬間m1和m2之間的彈力減為零，以及彈簧彈力形成的加速度下一時刻秤盤的重力將大于a，因此秤盤與重物分離。
3.與動量和能量有關(guān)的彈簧問題
與動量、能量有關(guān)的彈簧題在高中試卷中頻繁出現(xiàn)，且常以估算題的形式出現(xiàn)。 以下兩個推論的應用在分析過程中非常重要：
(1)當彈簧壓縮和伸長的變形量相同時物理彈簧彈力公式，彈簧的彈性勢能相等；
(2)當彈簧連接兩個物體做變速運動時，彈簧原始長度時兩個物體的相對速度最大，彈簧變形時兩個物體的相對速度相等是最大的。
●例6 如圖9-15所示，用輕彈簧連接質(zhì)量為m=1kg的物體A、B，固定在空中，彈簧處于原長度狀態(tài)，求A距物體的高度。地面為h1=0.90 m。 同時釋放兩個木塊，A與地面碰撞后速度立即為零，因為B壓縮彈簧后會下降，這樣A就可以離開地面（但不能繼續(xù)上升）。 若將B塊換成質(zhì)量為2m的C塊（圖中未示出），仍與A固定在空中，且彈簧處于原來的長度，則從A的高度h2釋放到同時著地，C被壓縮，彈簧落下后，A剛好離開地面。 給定彈簧剛度系數(shù)k=100N/m，求h2的大小。
【分析】假設(shè)當A塊落地時，B塊的速度為v1，則：
假設(shè)A剛離開地面時，彈簧的變形量為x，對于A塊：
毫克=kx
從A落地到A剛剛離開地面的過程中，對于A、B和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，則：
1/2·mv12=mgx+ΔEp
改為C后，設(shè)A落地時C的速度為v2，則：
1/2·＝2mgh2
從A落地到A剛剛離開地面的過程中，A、C和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，則：
聯(lián)立解：h2=0.5m。
【答】0.5m
【點評】由于中學數(shù)學并不要求彈性勢能的表達，因此中考幾次考彈簧問題時必須使用上述推論“①”。
●例7、用輕彈簧連接的兩個質(zhì)量為2kg的木塊A、B在光滑的水平地面上以v=6m/s的速度移動。 彈簧處于原來的長度，質(zhì)量為4kg的C塊處于靜止狀態(tài)。 正面，如圖9-16A所示，B和C碰撞后，兩者粘在一起并移動，則在后續(xù)的移動中：
(1) 當彈簧的彈性勢能最大時，物體A的速度是多少？
(2) 彈簧的彈性勢能的最大值是多少？
(3) A 的速度方向是否有可能向左？ 為什么？
【分析】（1）當A、B、C速度相等時（設(shè)為vA′），彈簧的彈性勢能最大，因為A、B、C組成的系統(tǒng)的動量是守恒的，則：
(mA+mB)v=(mA+mB+mC)vA'
解決方案必須：
(2) 當B和C碰撞時，B和C組成的系統(tǒng)動量守恒。 設(shè)B、C碰撞后的速度為v′，則：
mBv=(mB+mC)v'
解：v'=
當A的速率為vA′時，彈簧的彈性勢能最大，其值為Ep，根據(jù)能量守恒原理：
．
(3)方法1A不能向左移動。
根據(jù)系統(tǒng)動量守恒：(mA+mB)v=mAvA+(mB+mC)vB
讓A向左走，則vA<0,vB>4m/s
那么B和C碰撞后，A、B、C的動能之和為：
事實上，系統(tǒng)的機械能為：
根據(jù)能量守恒定律，E′>E是不可能的，所以A不能向左移動。
模態(tài)2 B、C碰撞后系統(tǒng)的運動可以看作是整體向右勻速運動與A、B、C相對振動的合成（即相當于相對振動）車廂中的兩個物體以勻速運動）
由(1)可知整體勻速運動的速度v0=vA'=3m/s
以勻速運動v0=3m/s的物體為參考系，可以看出，當彈簧處于原始長度時，A、B、C的相對振動速度分別最大：
vAO=v-v0=3m/s
vBO=|v′－v0|=1m/s
由此，我們可以畫出A、B、C的速度隨時間變化的圖像，如圖9-16B所示，因此A沒有向左移動的時刻。
【答案】（1）3m/s（2）12J（3）不可能，原因省略
【點評】①需要清晰地想象和理解研究對象的運動過程：相當于以3m/s等速運行的車廂中A、B、C相對于某一點的簡諧振動彈簧上最大振動速度分別為3m/s、1m/s。
②當彈簧受壓恢復到原來長度時，A最有可能向左移動，但此時A的速度為零。
●例8 在探究某筆的彈跳問題時，將筆分為三個部分：輕彈簧、內(nèi)芯、外殼。 內(nèi)核和外殼的質(zhì)量分別為m和4m。 筆的彈跳過程分為三個階段：
①將筆直立放在水平硬桌上，向下壓外殼，使其上端接觸桌面（如圖9-17A所示）；
②從靜止狀態(tài)釋放，當殼體從臺面左端垂直上升到高度h1時，與靜止內(nèi)芯碰撞（如圖9-17B所示）；
③接觸后，內(nèi)核和外殼以共同的速度一起上升，直至外殼上端距桌面最大高度h2（如圖9-17C所示）。
假設(shè)內(nèi)芯與外殼之間的沖擊力遠小于筆的重力，忽略摩擦力和空氣阻力，重力加速度為g。 求：
(1) 殼與內(nèi)核碰撞后的關(guān)節(jié)速度。
(2)從彈殼離開臺面到碰撞前一刻彈簧所做的功。
(3)從表殼上端離開桌面到上升到h2時筆所損失的機械能。
【分析】設(shè)v1為殼層上升到h1時的速度，殼層與內(nèi)核碰撞后的共同速度為v2。
(1) 對于殼層和內(nèi)核，從撞擊后達到共同速度到上升到h2物理彈簧彈力公式，動能定律給出：
解決方案必須：
．
(2) 殼層與內(nèi)核碰撞過程中動量守恒，即：
4mv1=(4m+m)v2
將 v2 代入：
(3) 由于殼層與內(nèi)核達到共同速度后上升到高度 h2 的過程中機械能守恒，因此僅在殼層與內(nèi)核碰撞時發(fā)生能量損失，損失的能量
將v1和v2代入得到：E損失=5/4mg(h2-h1)。
[回答]