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1.第4章動量與角動量，本章重點：4.1； 4.1.1. 動量，粒子動力學問題，測量粒子運動量，動量，與質(zhì)量和速度有關(guān)的狀態(tài)量，1）瞬時； 2）載體； 3）相對論，在笛卡爾坐標系中，在國際單位制（SI）千克米/秒（kgm/s）中，對于由N個粒子組成的粒子系統(tǒng)，其動量定義為，4.1.2，動量粒子定律（動量變化與藥量的關(guān)系），由牛頓第二定理： ，表示力在時間上的累積，稱為合力在時間dt內(nèi)的沖量。 ,1) 微分法： 2) 積分法： 如果是恒力： 1. 沖量()，力對時間的累積有什么影響？
2，？ ，沖動是力量隨著時間的積累。 , 2. 動量定律, 1) 微分法： , 由： , 在一個過程中，合力對質(zhì)點的沖量等于質(zhì)點動量的增量。 ,2)積分法：對上式積分，動量定律的乘積多項式，即： 1.它反映了過程量與狀態(tài)量的關(guān)系。 ,3. 它只適用于慣性系。 ，由動量定律可知，在等沖量作用下，不同質(zhì)量的物體速度變化不同，但其動量變化是相同的，所以從過程上看，動量可以更準確比速度更能恰當?shù)胤从澄矬w的運動狀態(tài)。 因此，用動量來描述物體做機械運動時的狀態(tài)熱阻比速度更準確。 動量是描述物體機械狀態(tài)的狀態(tài)熱阻。 , 3. 動量定律的權(quán)重模式，即合力對系統(tǒng)某一方向的沖量的權(quán)重等于系統(tǒng)在該方向的動量的增加量。
3.數(shù)量。 ，在笛卡爾坐標系中，動量定律的權(quán)重公式為，在低速運動的情況下，粒子的質(zhì)量是常數(shù)，動量定律可以寫為， 1）力：相互作用時間物體在碰撞過程中時間極短，相互間的斥力很大，而且往往是時變的，這些力統(tǒng)稱為力。 ，如果力很大，可以忽略其他外力，則： ，如果其他外力不能忽略，就是總外力的平均值。 ，2）平均力：力對碰撞時間的平均值。 ，即：， 4. 動量定律的應用減少和減少了力的作用。 設粒子系統(tǒng)由N個粒子組成，它們的質(zhì)量分別為m1、m2、、mN。 第i個粒子的位置矢量為 ，其受到的外力為 ，內(nèi)力為 ，動量為 ，則第i個粒子的動態(tài)多項式為， 4.1.3，粒子的動態(tài)多項式系統(tǒng)，可以得到N個粒子的動態(tài)多項式之和，因為
4. ，設 為粒子系統(tǒng)所有外力的矢量和， 為粒子系統(tǒng)的總動量。 則粒子系統(tǒng)的動力學多項式為，表明粒子系統(tǒng)總動量的時間變化率等于作用于系統(tǒng)的所有外力的矢量和。 內(nèi)力可以改變粒子系統(tǒng)中每個粒子的動量，但所有內(nèi)力對系統(tǒng)總動量變化率的貢獻為零。 在討論粒子系統(tǒng)總動量的變化時，我們只需要考慮外力。 , 粒子系統(tǒng)的動態(tài)多項式, 1. 微分法:, 粒子系統(tǒng)動量定律的微分公式, 表明在一個過程中, 合外力作用于粒子系統(tǒng)的沖量等于動量同時增加系統(tǒng)。 ,2. 積分法： 由粒子系統(tǒng)的動力學方程，我們得到： ， 對上式積分， ， 粒子系統(tǒng)動量定律的乘積多項式， 即： ， 4.1.4， 粒子系統(tǒng)動量定律， 3、動量定律Mode的權(quán)重，即合外力作用于質(zhì)點系統(tǒng)某一方向的沖量的分布
5.數(shù)量等于系統(tǒng)動量在這個方向上的增量。 ，在直角坐標系下，動量定律的權(quán)重公式為， 例4-1 人在跳躍時本能地彎曲關(guān)節(jié)，以減小與地面的沖擊力。 如果有人伸出雙臂從高處跳到地上會怎樣？ ，設人的質(zhì)量為M，從高度h跳到地面，落地速度為v0，與地面碰撞時間為t，重心向下移動s。 ,根據(jù)動量定律：假設一個人落地靜止后做勻速運動，那么： 假設一個人從2m的地方跳下，重心向下移動1cm，那么： ，可能會發(fā)生錯位。 ,假設人的體重為70kg,此時平均受力: ,解選擇車廂和車廂內(nèi)的煤m和正式落入車廂的煤dm作為研究系統(tǒng)。 以水平向右為正。 , 系統(tǒng)在時間 t 的總水平動量： , 系統(tǒng)在時間 t+dt 的總水平動量：
6. dt時間內(nèi)水平總動量增量： ，由動量定律： ，例4-2 裝煤車以v=3m/s的速度從煤斗下方通過，落入煤斗中的煤車箱每秒為m=500kg。 如果馬車的速度保持不變，應該用多大的牽引力來拉動馬車？ （忽略摩擦）。 對于粒子系統(tǒng)，已知時間、時間、動量守恒定律，在應用動量守恒定律時，要注意系統(tǒng)的動量守恒。 這并不意味著每個粒子的動量保持不變。 在內(nèi)力的作用下，每個粒子通常不斷地改變其動量。 但總動量之和不變，即內(nèi)力不改變總動量。 這個推論與內(nèi)力的性質(zhì)無關(guān)。 ，如果外力遠小于內(nèi)力，則可以認為動量守恒條件近似滿足。 重力和摩擦力在碰撞、打擊、爆炸等現(xiàn)象中可以忽略不計，當作用在粒子系統(tǒng)上的合外力為零時，質(zhì)量
7.積分系統(tǒng)的總動量保持不變。 ，動量守恒是由牛頓定理引入的，但它的應用范圍比牛頓定理更廣泛。 除了適用于宏觀現(xiàn)象，也適用于微觀現(xiàn)象。 ,動量和力都是矢量，可以沿坐標軸分解。 當沿某一坐標方向的總外力為零時，沿該方向的總動量分量守恒。 ，動量守恒定律只適用于慣性系。 ,例4-3 質(zhì)量為M，仰角為m的槍架發(fā)射質(zhì)量為m的子彈，子彈發(fā)射時子彈相對于槍身的速度為u，忽略摩擦力，求(1)速度槍支從出口彈出時的槍架； () 火箭發(fā)射過程中，火炮與載具的距離（火炮膛長為L）。 , 解() 選取槍車和手榴彈為系統(tǒng), 地面為參考系, 系統(tǒng)所受的總外力為N, mg, Mg 均沿垂直方向, 水平外力為零, 且系統(tǒng)的總動量 x 分量守恒。 設彈丸出射時相對于地面的水平速度為vx
8、槍身后坐速度vx，是相對于地面參考系的。 從相對速度的概念可以得到，負號表示炮架后坐速度與x軸正方向相反。 , () 若用u(t)表示發(fā)射過程中任一時刻火箭彈相對于炮架的速度，則此時炮架相對于地面的速度，假設子彈退出通過t1s，炮架在t1s聯(lián)通內(nèi)沿水平方向運動，解，負號表示炮身沿x軸負方向后退。 , P44 習題2-8 一條線密度為 的均勻粗鏈，下端由人握住，上端剛好與桌面相接。 現(xiàn)在突然舉手，鏈條落下，假設鏈條的每一節(jié)都落在桌子上，然后在桌子上靜止不動，求鏈條落下一段距離s時，鏈條在桌子上的瞬時排斥力。 ，解：鏈條對桌面的排斥力由以下兩部分組成：下落段s對桌面的壓力N1，下落dx段對桌面的力N2，鏈條對桌面的排斥力dx 段上的桌面
9. 若為N2，則以下落的dx段鏈條為研究對象，其速度在dt時間內(nèi)從4-4 光滑水平面及直徑 R的豎直光滑半圓軌道相連，兩滑塊A、B的質(zhì)量均為m，彈簧的剛度系數(shù)為k，其五端固定在點O，另一端與滑塊A接觸，當滑塊B還在半圓軌道底部時，用外力推動滑塊A，使彈簧壓縮一段距離x，然后松開. 滑塊A脫離彈簧后與B完全彈性碰撞，碰撞后B將沿半圓軌道上升，上升至C點脫離軌道，OC為垂直60方向，求彈簧的壓縮距離x，解：設滑塊A離開彈簧的速度為v，當彈簧恢復原狀過程中，機械能守恒，經(jīng)過后A的速度不變脫離彈簧，與 B 發(fā)生完全彈性碰撞，即匯率，A 靜止，B 為
10. 初始速度 v 沿圓形軌道上升。 動量守恒。 當 B 沿圓形軌道運行時，它與月球系統(tǒng)的機械能守恒。 示例 4-5。 兩輛有理想彈簧緩沖器的貨車A和B，質(zhì)量分別為m1和m2，B不動，A速度v0與B相撞。若已知兩車緩沖彈簧的剛度系數(shù)為k1和k2分別在忽略摩擦力的情況下，兩車相對靜止時的排斥力分別為多少？ （忽略彈簧的質(zhì)量）。 解：當貨車相撞并達到共同速度v時，兩車相對靜止。 , 動量守恒。 讓兩個彈簧在相對靜止時分別壓縮x1和x2。 因為排斥力相等，所以機械能守恒。 從第一個解決方案，4.3.1。 當質(zhì)心和質(zhì)點系統(tǒng)運動時，每個質(zhì)點的運動可能不同。 ，很復雜，為了簡單描述粒子系統(tǒng)的運動狀態(tài)，引入了質(zhì)心的概念（簡稱剛體：粒子系統(tǒng)的質(zhì)心）。 ,
11. 對于由N個粒子組成的系統(tǒng)，勢向量分別為，粒子系統(tǒng)的動量為 ，質(zhì)量為 ，與粒子系統(tǒng)具有相同動量的粒子C的位置向量為 ，且速度為 ，則有， C 稱為粒子系統(tǒng)的剛體，稱為剛體的位置向量。 ，可以證明剛體相對于粒子系統(tǒng)的位置與坐標系的選擇無關(guān)，即剛體相對于粒子系統(tǒng)本身是一個特定的位置。 ，引入剛體后，粒子系統(tǒng)的動量和粒子的動量表達式一樣簡潔。 獲得剛體C的坐標。 對于質(zhì)量連續(xù)分布的物體， (1) 對于幾何形狀對稱的均勻物體，剛體是幾何對稱的中心。 (2)有些物體的剛體可能不在想要的物體上，但有明確的數(shù)學意義。 (3)重心是重力合力的作用點。 對于小規(guī)格的物體，剛體與重心重合。 ，4.3.2，質(zhì)心運動定律，就是剛體運動的加速度。因為，剛體運動定律作用在合力上
12、外力等于質(zhì)點系統(tǒng)的總質(zhì)量乘以剛體的加速度，也就是說剛體的運動只由作用在質(zhì)點系統(tǒng)上的合外力決定，而內(nèi)力不影響剛體的運動。 , 當 , 時，內(nèi)力不改變剛體的運動狀態(tài)。 ，當粒子系統(tǒng)在某一方向的合外力為零時，在該方向的投影等于一個常量向量，該方向的動量守恒。 ，剛體運動定律不能描述每個質(zhì)點的運動，每個質(zhì)點的實際運動應該是剛體運動和質(zhì)點相對剛體運動的疊加。 ，由于內(nèi)力和外力的作用，粒子系統(tǒng)中每個粒子的運動可能非常復雜，但剛體的運動可能非常簡單。 ，在最后一個幻影kt板上，例子4-6是一根長度為L，密度分布不??均勻的細棒，它的質(zhì)量線密度=0x/L，0是常數(shù)，x從輕端算起，求它的力偶. ，求解坐標原點與輕端重合，x軸沿桿長方向，如圖，取質(zhì)量元，例4-7
13、在由兩個質(zhì)量分別為m1和m2的粒子組成的粒子系統(tǒng)中，剛體處于靜止狀態(tài)。 質(zhì)量為 m1 的質(zhì)點繞直徑為 r1 的剛體作勻速圓周運動，速度為 v1。 找出粒子 m2 的運動規(guī)律。 ，求解如圖，以剛體為坐標系原點，兩個質(zhì)點的位置向量可滿足下式，由于剛體是靜止的，所以剛體的動量為零，即動量的大小，在SI中：kgm2/s的方向，由左手螺旋定則確定。 ,b) 相對論 (1) 參考系不同，矢量半徑不同，動量不同，角動量不同。 (2) 如果原點O選擇不同，則位置矢量和角動量也不同。粒子到參考點的角動量，4.4.1，角動量( of )，a)矢量性，1。一個粒子的角動量，C）笛卡爾坐標系中的權(quán)重公式，1）一個圓周運動粒子m繞中心O的角運動
14、數(shù)量與方向：方向相同，垂直于旋轉(zhuǎn)平面，與粒子的旋轉(zhuǎn)方向呈左手螺旋關(guān)系。 推論：做勻速圓周運動的質(zhì)點到圓心的角動量是恒定的。 ，方向：由左手螺旋定則確定。 , 質(zhì)點到O點的角動量為：, (3) 如果O取在一條直線上，則： 質(zhì)量為m的質(zhì)點沿直線運動。 ，粒子在t時刻相對于O點的角動量為： 2）粒子做直線運動的角動量， （1）如果物體做勻速直線運動，對于同一個參考O點，則， (2) 對于不同的參考點，粒子具有不同的恒定角動量，大小：， 2，粒子系統(tǒng)的角動量：，粒子系統(tǒng)的角動量等于角動量之和4.4.2、粒子角動量定律，角動量對時間的導數(shù)可得：，定義：作用在質(zhì)點上的合力對質(zhì)點的轉(zhuǎn)矩笛卡爾坐標系 4 中的參考點 2，作用于質(zhì)量
15. 點的合力矩等于合力的力矩。 ，粒子的角動量定律，粒子上的合力矩等于其角動量的時間變化率。 ，力矩滿足疊加原理：作用在質(zhì)點上的各個力的力矩的矢量和（總力矩）等于各個力的合力的力矩。 , 并且是針對同一慣性系中的同一參考點。 3. 相對論：取決于參考點O的選擇。 ，（1）粒子角動量微分法，（2）粒子角動量定律積分法，粒子角動量的增量等于粒子所受的角動量粒子。 ，扭矩的積累對時間的影響是角動量的變化。 ,例 4-8 一個質(zhì)量為 m、線長為 l 的單擺可以在垂直平面內(nèi)繞點 O 擺動。 擺線在初始時刻被水平拉動，然后自由下落。求：當擺線與水平線成夾角時，擺球上的力矩和擺球的角動量指向O點； 擺球到達點
16. 在 B 點，角速率的大小。 ，求解任意位置時，作用力為：重力； 緊張。 , 根據(jù)角動量定律： , 瞬時角動量： , 點 O 上的重力扭矩為： ，方向： 垂直于紙的內(nèi)部。 ，O 點的張力扭矩為零。 ， 4.4.3，粒子系統(tǒng)的角動量定律，斥力與反斥力對同一點力矩的矢量和為零。 ,2. 積分法：質(zhì)點系統(tǒng)角動量的增量等于系統(tǒng)外力矩的角沖量。 , 1. 微分法： , 粒子系統(tǒng)所受的合成外力矩等于系統(tǒng)角動量關(guān)于粒子系統(tǒng)時間變化率的角動量定律。 , 方向: 豎板朝外, 尺寸: , 方向: 豎板朝內(nèi), 尺寸: , 對同一點的斥力和反斥力矢量和為零。 ，只取決于系統(tǒng)的外扭之和，與內(nèi)扭無關(guān)。 內(nèi)撓只改變系統(tǒng)中各粒子的角動量動量定理的單位轉(zhuǎn)換，不影響系統(tǒng)的弱冠動量。
17., 4.5.1. 質(zhì)點角動量守恒原理，若質(zhì)點上的合力矩，若質(zhì)點所受力矩的矢量和對于某一參考點始終為零，則質(zhì)點與參考點的夾角動量保持不變相同。 粒子角動量守恒原理，例如月球衛(wèi)星繞月球公轉(zhuǎn)時，月球的相對角動量守恒。 ，1，有心，和還在同一條線上，所以。 ,2. 當作用于質(zhì)點的外力矩分量在某一方向為零時，質(zhì)點沿該方向的角動量分量守恒。 ,不等于:,注:,解如圖所示,行星在太陽引力作用下沿橢圓軌道運動,t時間內(nèi)行星徑向矢量掃過的面積,因為行星只受心力的影響，其角動量守恒，例4-9 借助角動量守恒證明開普勒第二定理：行星相對于太陽的徑向矢量掃過的面積（面積率）單位時間內(nèi)是常數(shù)。 , 面積率
18.:,例4-10 我國1971年發(fā)射的科學實驗衛(wèi)星在以地球中心為焦點的橢圓軌道上運行。 已知衛(wèi)星近地點高度h1=226km，遠地點高度h2=，衛(wèi)星通過近地點時的速度v1=8.13km/s，試計算速度衛(wèi)星經(jīng)過遠地點時和衛(wèi)星運行的周期（月球直徑R=6.），如圖求解衛(wèi)星軌道，因為月球?qū)πl(wèi)星的引力是心力，所以衛(wèi)星到月球中心的角動量守恒。 在最高點，位向量的大小為。 如果坐標原點取在地球中心，那么當衛(wèi)星在軌道近地點時，位向量的大小為。 設衛(wèi)星在遠地點的速度為v2，而近地點和遠地點的速度垂直于那里的徑向矢量，則可由角動量守恒定律求得。 因此，若橢圓軌道的面積為S，衛(wèi)星的面速度為dS/dt，則衛(wèi)星的
19.運動的周期，a，b分別是橢圓軌道的半長軸和半短軸，可以求出，例題是用繩子綁著一個小球做圓周運動光滑水平面上的均勻速率，其直徑為 r0，角速率為 。 現(xiàn)在通過圓心的小孔將繩子輕輕向下拉，逐漸減小直徑。 求當直徑減小到 r 時球的角速度。 , 求解繩索在選定平面上穿過的小孔O為原點。 ，因此球相對于點 O 的角動量守恒。 ,由于繩子對小球的拉力沿繩子指向小孔，則O點力的扭轉(zhuǎn)： 4.5.2 粒子系統(tǒng)角動量守恒原理：角動量守恒， 1. 角動量守恒的條件是 合力矩為零。 合力為零，合力矩不一定為零。 ,2. 系統(tǒng)的角動量守恒，各個粒子的角動量可以交換。 3. 適用于慣性系，也適用于微觀現(xiàn)象。 ，當粒子系統(tǒng)上的合成外部扭矩為
20. 當參考點為零時，粒子系統(tǒng)的角動量守恒到參考點。 ，例：質(zhì)心處的合力為零，但合力矩不為零。 、 4、力偶的質(zhì)心矩，一對大小相等、方向相反、不在同一直線上的力稱為質(zhì)心。 ,因力矩:,狀態(tài)量,外藥量,基本原理,守恒定理,動量,角動量,能量,沖量,角沖量,功,動量定律,角動量定律,泛函原理,守恒條件,例題4-11 二人們具有相同的質(zhì)量并且位于相同的高度。 每個人都從繩子的一端開始爬繩子，不管繩子和輪子的質(zhì)量如何，軸上沒有摩擦力。 他們中誰先登頂？ ，選取四人和輪子為系統(tǒng)，O為參考點，垂直面向外為正。 ，作用在系統(tǒng)上的外力如圖所示。 ，唯一形成力矩的就是重力。 ，即四個人同時到達頂點。 ,根據(jù)角動量定律:, 方法二:(角動量守恒), 1.如果其中一個不動,
21、外力矩不變，內(nèi)力矩對角動量沒有貢獻，所以角動量守恒。 ，即打火機先到。 ,2. 如果 m1m2，則系統(tǒng)上的合力外扭力為零，角動量守恒。 ，求解由三個小球和細桿組成的系統(tǒng)，O點為參考點，各質(zhì)點上的重力與桌面上的支撐力大小相等，方向相反，矢量和為O 點的力矩為零。 O點對細桿的排斥力和點對點的力矩為零，系統(tǒng)所受的合外扭力為零。 所以系統(tǒng)的角動量守恒，解決辦法就是以小球和月球為系統(tǒng)，機械能守恒。 , 由角動量守恒, 聯(lián)立解, 例 4-13 質(zhì)量為 m 的球 A 沿月球表面的切線方向水平向右飛行, 質(zhì)量為 M, 直徑為 R, 在 a速度v0，地軸OO與v0平行，小球A的軌跡與地軸OO相交于C點，OC=3R，若不考慮月球自轉(zhuǎn)和空氣阻力，求小球A在C點的速度
22. 與 OO 軸的傾角。 3、碰撞分類彈性碰撞碰撞后變形消失，不存在機械能損失； 非彈性碰撞后，變形無法恢復。 部分機械能轉(zhuǎn)化為熱能； 完全非彈性碰撞碰撞后粘在一起，不再分開，并以同樣的速度運動，機械能損失最大。 , 1. 碰撞是兩個或多個物體相遇的過程，物體相互作用強烈且持續(xù)時間極短的接觸（或接近），物體的運動狀態(tài)隨之發(fā)生變化。 作用時間極短的現(xiàn)象。 2、沖撞的特點：動作時間極短，內(nèi)力遠小于外力，運動狀態(tài)突變。 ， A。 沒有外力或內(nèi)力遠小于外力：動量守恒 b． 無外扭力：角動量守恒（質(zhì)點繞固定軸旋轉(zhuǎn)），4.6.1，正面碰撞，1.碰撞定理兩個小球相互碰撞如果碰撞后的相對運動與相對運動相同碰撞前的運動
23. 在一條直線上，這些碰撞稱為正面碰撞或反中心碰撞。 ，牛頓覺得碰撞后的分離率（v2-v1）與碰撞前兩球的接近速度（v10-v20）成反比，該比值由兩球的材料決定，即，e稱為恢復系數(shù)，當e=0時為完全非彈性碰撞，當為非彈性碰撞。 動量守恒，2.一維正面碰撞動量定理的單位轉(zhuǎn)換，碰撞定理。 聯(lián)解，當e=1時，為彈性碰撞，正面碰撞中兩個質(zhì)量相等的小球在彈性碰撞中相互交換速度。 質(zhì)量小的物體與質(zhì)量大的靜止物體發(fā)生碰撞，小物體改變運動方向，而質(zhì)量大的靜止物體幾乎保持不動。 3、碰撞過程中動能的損失。 當e=0時，為完全非彈性碰撞，即碰撞后兩個物體以相同的速度運動，不分離。 , 4.6.2, 斜向碰撞（二維碰撞），系統(tǒng)的動量守恒，
24. y 方向是，x 方向是（根據(jù)正面碰撞）。 與一維碰撞一樣，二維碰撞也分為彈性碰撞和非彈性碰撞。 對于彈性碰撞，遵循機械能守恒定律。 ，對于二維碰撞，如果兩個球是光滑的，則可以選擇碰撞時連接兩個球的線作為x軸，垂直于中心線的方向為y軸，作為如圖所示。 兩個球在 x 軸方向上相互壓縮。 兩個球在y軸方向上沒有相互擠壓，因此碰撞前后兩個球在y軸方向上的速度分別保持原來的值。 ,例4-15 兩個質(zhì)量為m、m的小球系在等軸測線上，構(gòu)成一個掛在同一懸掛點上的擺，如圖所示。 將 m 拉到 h 高度并從靜止狀態(tài)釋放。 在下列條件下，求兩球上升的高度。 (1) 碰撞是完全彈性的； (2) 碰撞是完全無彈性的。 ,解 (1) 碰撞前小球的速度m，因為碰撞是完全彈性的，所以滿足
25、動量守恒，但碰撞前后動能相等。 that the of the two balls after are v and v , then there are, it can be that the are H and H . (2) In a , let the speed of the two balls be u, by the of shows that the of the two is, 4-16: are by . M, m, and M/m=4, the is . The angle of the is 111, how much is lost by the in the ? , : of and of the , , three , the ratio of after to that is , so the is lost by 50%. , Two with a of r are close and are in a state. large ball with the same and a of 2r makes an with it at a v0. As shown in the , the of v0 is on the line the of the two small balls. Find the large ball after the
26. The speed of the ball. , solve that the mass of the small ball is m, then the mass of the big ball is M=8m, and the of v0 is taken as the of the x-axis. From the , the speed of the big ball is still along the of the x-axis after the . Set vM, the The of the two small balls are equal, set it as; the of is the same as the angle of the x-axis, set it as, and solve it , get from the of :, get from the :, get from the of :, and into From the above two , we get, 4.7.1. and , 1. a on a shape, so that its shape and do not show any . These are said to have . , , . , For : the of a any axis, , if the mark "" is added to the , it no has , which is " ". , the or from one state to .a
27. To make the from one state to state to it, the is said to be to this (). is a of the . , of the ways of "" or "", there can be kinds of . The most are space-time , and the are space-time . , , , space , and scale ( or of scale), etc. Time time and time . The is a joint space-time . , of two in : (1) of a or a thing (for , a two- has axial ), (2) of laws after a () , the way the laws . Such as: 's has mode , which is . , 2. The of
28. Study the of under . ,1) Time of are to time. the , the same be as today. In to space-time , many other are in , such as , gauge , and of and . In to this, it is to have of types of . ,2) Space Space has . in yield the same . ,4) The image space of the is left-right . Such as: clock, motor, the same law. ,5) The of the of the is the .At low speed, 's has mode under ; at high speed, 's does not have mode under
29, so it needs to be into the law of heat. ,3) The of space are the same in all of space. No how the is in space, as long as the are the same, the same be . The of the can be in a way: it is for us to the value of the time we are in, the of the space, the of the space, the left or the right of the space . , the of the frame. , the of the of space and time. , the is to the of laws under (). , 's Law (1918): If a law is under a that does not on time, there must be a . , the of 's law: it is to a law under a
30. Sex is with the of . And it is that if the law of is to all in a group, then: = in the group. , 3. 's law, if a of the law of is not , but is , then its will an , and the of its non- part It will on the of . It is of these that can infer the ways that the basic laws of may take to the of that is . 1. Space and . Under such , the by 1 and 2 are : The total of the two does not with time, which is the law of of . , 4.7.2, space-time and three , the width of the two is , the is , when the is by x, the of the space means
31. The has to do with x, that is, the under the space . This is only when the U is only a of the width x of the two . , 2. The of space and the law of of , B is fixed, A moves along the arc of B, the of is, and the above does not the , the of the two along the The line is to the of . , The can be by the , and the of time means that these are only to the the two , and not with the of time. In these cases, the of the is . The of the law to the of the of space the of ; the of the law to the of space the of ; . , 3. Time and , , 1. law of , 2. of , 3. law of , 4. , 5. Law of of of mass, 7. The law of of and , 6. The of and :, 8. The of of of and , 9. ,
