1 背景
粒子系統(tǒng)的角動量定律有幾種形式。設粒子系統(tǒng)中第i個粒子的質量為mi，位置矢量為ri，速度為
，外力為Fi，則靜止點（慣性系原點）的角動量定律為
(1)
這是基本的方法。 剛體也有角動量定律：
(2)
在
是質點i相對于剛體C的位置矢量和速度。質心是一個動點，但它很特殊，因為它是系統(tǒng)的平均位置（以質量加權），或者說質心的一階原點矩質量空間的位置分布。 式（2）左邊的“反作用力偶的角動量”可以看作是某種二階中心力矩（如果把速度換成矢量半徑）。 如果對于其他運動點P，角動量定律就沒有那么簡單了，就會多出一項：
(3)
在
是質點i相對于動點P的位置向量和速度，rCP是剛體相對于點P的位置向量。這里多出來的一項是因為動點有加速度，所以當換成a非慣性系統(tǒng)，每個質點也受到慣性力。
它是慣性力和扭矩的總和。 若動點為剛體，則rCP=0，慣性力與力矩之和為0，式(3)右邊第二項不存在。
對于質心的情況，上面的每一個定律都有更具體的方法，這里不再贅述。 但此時對于瞬心也有角動量定律（或旋轉定理）。文獻[1]來自質心繞瞬心的動能定律
(4)
（P為瞬心，MP為質心所受繞瞬心的力矩，IP為質心繞瞬心的轉動力矩，ω為質心角速度），得到質心繞瞬時中心的旋轉定理（角動量定律）：
(5)
這個定理的理解有一定的障礙：瞬心是靜止的（一個突然靜止在質心上的點），但它也在運動（空間的極點是瞬心相對于質心的軌跡）固定系統(tǒng)）。 怎么理解呢？ 有更常用的方法嗎？ 如何從通常的粒子系統(tǒng)動力學中導入？ 這就是本文所關注的。
2 參考點變化時的角動量定律
仔細考慮后，你會發(fā)現(xiàn)這是改變參考點的問題：參考點是靜態(tài)的，所以不涉及速度的參考系變換； 但不同的靜態(tài)點在不同的時間被用作參考點，所以稱為參考點變化。 （與此類似的一個概念是力點的變化，不是力點的位移，不做功。）
下面推論。對于粒子系統(tǒng)中的任意一個粒子i，假設它所受的外力之和為Fi，所受的內力之和為fi，則根據牛頓第二定理，我們有
(6)
假設一個參考點P（見圖1），粒子i的相對位置向量為
(7)
一般情況下，參考點被選中后不會被替換。 有 driP/dt=
.但是如果有參考點變化，那么
(8)
在
為參考點的變化率。利用相對位置向量riP對式(6)左邊進行交叉乘法，得
將其與索引 i 相加，并注意內部扭矩的總和成對抵消
，可用的
(9)
在
是相對于參考點 P 的組合外部扭矩，
(10)
是粒子系統(tǒng)相對于參考點P的弱冠動量。式(9)是參考點變化時的角動量定律。
考慮下面的另一種理解方式。 定律（9）也可以理解為參考點移動時的角動量定律，但是在估計粒子的角動量時，位置向量使用相對（相對于移動點）勢向量，但是絕對 仍用于速度，因此參考點未更改 Tie。 式(10)中的riP=ri(t)-rP(t)既可以理解為不同時刻相對于不同靜止點的矢量半徑，也可以理解為相對于同一運動點P的矢量半徑。因此，參考點是一系列靜止點還是移動點與相對位置向量無關。 唯一需要注意的是，無論怎么解釋，粒子的速度始終是絕對速度。 如果將“參考點變化”理解為“參考點移動”，則含義由“不同靜態(tài)參考點的變化率”變?yōu)椤巴灰苿訁⒖键c的移動率”，公式(8)由“相對位置向量的變化率”（不是誰的速度，也不是誰的速度相對于誰）使得“粒子i相對于運動參考點P的速度
”。
這種新的理解方式合理嗎？ 合理的。 最初，角動量的定義涉及位置矢量和速度。 向量需要指定參考點，速度需要指定參考系，兩者不一定捆綁在一起。 通常，所謂動點角動量定律（3）（包括偶角動量定律（2））會同時改變參考點和參考系。 如果只改變參考點而不改變參考系，則得到法則（9）。 另外需要注意的是，扭力只包括位置矢量，因此只與參考點有關，與參考系無關。 在不同的參照系中，力和力矩是相同的。
法則 (9) 可能包含各種特殊情況。 如果P點是靜止的，則返回法則(1)。如果改變參考系，讓質點相對于運動點P的速度出現(xiàn)在表達式中，則式(10)變?yōu)?span style="display:none">A0G物理好資源網(原物理ok網)
或寫成
(11)
在，
(12)
是以動點P為原點在新參考系中測得的角動量，
為剛體相對于P點的位置矢量。將式(11)代入式(9)可得
這就是普通運動點的角動量定律 (3)。 若取P點為剛體C，則rCP=0，
. 則式（11）給出LC=L'C（即以剛體為參考點時，無論質點速度在慣性系還是質量系，得到的系統(tǒng)角動量為同), 和公式 (9) 這得到 MC=dLC/dt=dL'C/dt。 這就是剛體的角動量定律。
3 質心繞瞬心的角動量定律
我們關心質心，在平面運動的情況下。 只要質心有角速度ω，就存在速度為0的瞬心P。這里要分析一下“瞬心”的概念。 眾所周知，質心的運動可以用瞬心體極在空間極上的無滑移滾動來代替[2,3]。 物體兩極上的點與質心固定相連，可視為質心上的點，這些點依次靜止成為瞬心。 空間的兩極在靜止系統(tǒng)中是固定的，它上面的所有點總是靜止的。 據悉，還有一個可想而知的小環(huán)，它始終在身體極點和空間極點的切點處，所以是動點。 在不同的場合下，某一時刻的“瞬心”可以指空間極跡上的切點P1（限于此時，簡稱“空間點P1”），也可以指空間極跡上的點P1。速度為0的物體極跡P3（也僅限于此時，簡稱“本體點P3”）也可以指運動小環(huán)P2（所有矩）。 兩者的空間位置始終相同，只是運動情況不同。 因此，作為位置矢量參考點時，兩者可以任意切換，但涉及到速度和加速度時必須注意。如果將上述角動量定律（9）理解為針對改變參考點，那么參考點就是一系列靜止不斷變化的空間點P1，變化率為
; 如果理解為同一個移動點（參考點移動）的情況，那么這個參考點就是小環(huán)P2，它的移動速率也是
.如果采用我們最習慣的理解——本體點P3質點系的角動量定理公式，一定不能感覺到人體瞬間心率為0。
=0！
通過以上分析，得到各點的絕對率公式
(13)
中，由于這里只涉及到相對位置向量，所以瞬時中心P可以是前兩者中的任意一個，不做說明（其實一般理解為本體點P3）。 但是，式(9)右邊第二項，如果理解為運動速度，則P點只能指代小環(huán)P2，可以估計為
(14)
其中 ω 垂直于所有矢量和速度（平面運動）使用，因此
. 注意最后兩個公式的理解：小環(huán)P2還在運動，剛體C到P2的距離rCP2也在變化，促進意義的獲??； 身體點P3還在身體的極點上變化，所以rCP3會變，這就是這個意思。
同時，對于瞬心點P的角動量(10)，速度已經明確定義為粒子的絕對速度，勢向量riP中的點P無需明確瞬心的理解，但可以根據需要選擇：
(15)
在
是單位張量，
由于這個原因
定義的張量。 注意，無論點 P 是運動點（小環(huán)）、體點還是空間點，都可以定義這樣的張量。 由于 riP 始終有意義且定義明確，因此張量的估計結果始終相同。 但若稱其為“剛體的轉動矩張量”，習慣上要求P點為固定于質心的點（即體點P3）。 也就是說，
只是一個張量，并且只有
通?？梢苑Q為“剛體的旋轉力矩張量”，盡管它們的結果總是相同的。 因此，當體點P3在體極上不斷變化時，
也會隨著時間而改變。
將上述結果代入角動量定律(9)，得
在，
是質心圍繞物體瞬時中心P3的旋轉力矩張量的zz分量，認為ICzz是常數。取上式的z分量，注意ω只有z分量，所以我們有
則得到質心在平面內運動時質心到瞬時中心的旋轉定理（5）（IP是IP3zz的縮寫）。 兩邊同時除以dθ=ωdt，得到式(4)。 本文關注的核心問題也得到了解決。
現(xiàn)在我們可以總結一下：為什么我們要在公式（10）之后和公式（13）之前談參考點（或瞬時中心）P的多重理解？我們的核心是公式（9）和公式（10），其中
和
是絕對速度，
是參考點的變化率。但是我們非常熟悉（或喜歡使用）“點的移動率”這個概念，我們將
理解為“移動點的速度”就可以滿足我們的習慣，只要保證
和
只為絕對速度。 在質心情況下，由于我們的目標是解釋定律（5），其中涉及的旋轉力矩習慣上被理解為繞“剛體上的點”（而不是中的點）的旋轉力矩a ), 我們需要瞬心P和兼顧本體點P3的作用來滿足我們的習慣。 因此，在式（9）～式（10）及后續(xù)推論中，最終將riP理解為相對于物體瞬時中心的矢量半徑（見式（15）），
理解為動點（小環(huán)P2）的速度（見式（14）），
和
一定還是絕對率（見式（13）及其代入式（14）～式（15））。
4 幾種角動量定律的應用與比較
下面以一道題為例，說明上述角動量定律的應用。 如圖 2 所示，一個直徑為 R、質量為 M 的均勻圓錐在角度為 θ 的粗糙斜坡上沿最傾斜的方向滾動。 以離斜坡最遠的點A為參考點，建立角動量定律。
在列舉多項式之前，先分析一下“A點”的含義。 正如“即心”有多重含義，這里的“A點”也可以有多重含義。 假設有一條直線位于運動平面內，平行于斜面，與斜面的距離為2R。 一個移動的點（或小環(huán)）仍然位于圓錐與直線的切點。這樣，“A點”的意義和作用有以下幾種可能：（1）直線上的一個固定點，在研究時刻處于切點； (2) 直線上的一系列靜態(tài)點（參考點變化， Rate to
); (3)小環(huán)(率也
, 僅用于表示相對勢能，速度仍使用絕對速度）； (4) 一個小圓環(huán)(它既是勢能的參考點，也是速度參考系的原點)； (5) 錐體邊緣上的一系列點，總是在相切點，不同的時間取不同的點； (6) 固定在質心上的錐體邊緣上的一個確定點，在研究時刻只在切點上。
以上六種理解中，最后一種最常見，（5）上面不討論（略），（2）和（3）是等價的。不管理解如何，右邊的扭矩在角動量定律是一樣的，都是
（在反秒方向為正）。
根據式（1）的理解，應使用定靜點的角動量定律（1）。 系統(tǒng)到A點的角動量為剛體角動量與相對于剛體的角動量之和，后者為-RMvC，前者為ICω（IC為相對于剛體的旋轉力矩剛體）。因此有
(16)
根據（2）（3）的理解，應使用多項式（9）。此時方程右邊第二項為0，第一項中的角動量也為ICω－RMvC，所以等式是
(17)
公式（17）和公式（16）看似一樣，但畢竟公式（17）左邊有兩項，但本題第二項為0。
根據式（4）的理解，對于普通的運動點質點系的角動量定理公式，需要用到角動量定律（3）。此時，參考點A的速度總為
，加速度始終為 aC。 多項式右邊第二項為-RMaC，第一項A點的角動量為ICω，因為剛體相對于A點總是靜止的。因此有
(18)
根據式（6）的理解，平時動點還是要用角動量定律（3），但此時A點的速度為vC+ωR，加速度有一個平行的（在斜面上）分量aC+βR，也有垂直份量。 但垂直分量不需要考慮，等式左邊第二項為-RM(aC+βR)。 左邊第一項，力偶相對于A點的速度沿斜率下降，為ωR，而相對于剛體的角動量仍為ICω，所以相對于A點的角動量在括號是R(M·ωR) +ICω。所以多項式是
(19)
可見，無論怎么理解，得到的方程（16）~多項式（19）都是等價的。
其實，為了找到質心“繞瞬時中心旋轉定理”的“不均勻性”的理論依據，我們從最原始的方式入手，引入角動量定律的新方式，其中質點的速度是絕對速度，但位置矢量指的是可以連續(xù)變化的點，所以稱為“參考點變化時的角動量定律”。 由此我們引入“繞瞬心旋轉定理”。 為了便于理解，我們還對“即心”的可能含義進行了辨別分析，為推導過程做鋪墊。 最后，我們通過一個例子來比較角動量定律各種方法的用法。 本文這種新形式的角動量定律其實更具有一般性，只是提供了一種新的手段； 現(xiàn)有的手段（靜點角動量定律、反作用力偶、反動點）已經足夠了。
參考
[1] 張漢莊, 王文權． 熱學[M]． 第 3 版。 南京: 高等教育出版社, 2015, 201-202.
[2] 周彥波． 理論熱學教程[M]． 第 3 版。 上海：高等教育出版社，2009：146.
[3] 朱兆軒，周啟釗，尹金生． 理論熱學（上）[M]． 上海：上海大學出版社，1982：186。
作者簡介：吳尋，男，學校一級班主任，研究方向為小學數學競賽，主要從事高中數學競賽教學工作，@； 黃益斌，男，副院長，主要從事科研和教學工作，并兼任多門主干課程教學工作，。
引文格式：吳迅，黃宜斌。 參考點變化時的角動量定律[J]. 化學與工程, 2020, 30(6): 75-78,83.
結尾