■湖北省宜昌市第五中學(xué)王勇(特級班主任、正中級班主任)極化恒方程:對于平面向量a,b,通過恒等變型可得a·b=14(a+b)2-(a-b)2。圖1再經(jīng)過幾何延展,如圖1所示,在△ABC中,若設(shè)AB→=a,AC→=b,M是BC的中點(diǎn),則AB→·AC→=AM→2-14BC→2=|AM→|2-14|BC→|2。由此可知極化恒方程可將平面向量的數(shù)目積關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個平面向量的厚度關(guān)系,使不可測度的向量數(shù)目積關(guān)系轉(zhuǎn)化為可測度、可估算的數(shù)目關(guān)系,其意義非同凡響。下邊舉例說明極化恒方程在解題中的妙用,旨在探索題型規(guī)律,揭示解題方式。一、解決平面向量的數(shù)目積問題1.巧求數(shù)目積的值。例1(2018年荊州市模擬題)已知過點(diǎn)A(0,1),且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于M,N兩點(diǎn),則AM→·AN→=。圖2解析:如圖2所示高中數(shù)學(xué)極化恒等式推導(dǎo),取MN的中點(diǎn)G,聯(lián)接CG,CM,CA,則CG⊥MN。由極化恒方程,得AM→·AN→=AG2→-MG2→=(AC2→-CG2→)-(MC2→-CG2→)=AC→2-MC→2=AC→2-1=8-1=7。點(diǎn)評:本題A,M,N三點(diǎn)共線,極化恒方程仍適用。
利用垂徑定律、勾股定律及兩點(diǎn)間的距離公式即可得解。2.劃分?jǐn)?shù)目積的取值范圍。例2(2018年江蘇省八校統(tǒng)考題)已知AB是半圓O的半徑,AB=2,等腰三角形OCD的頂點(diǎn)C、D在半弧形AB︵上,且CD∥AB,P是半弧形AB︵上的動點(diǎn),則PC→·PD→的取值范圍是()。A.32-3,32B.32,32+3C.32-32,32D.32-3,32+3圖3解析:如圖3,取線段CD的中點(diǎn)M,聯(lián)接PM。由極化恒等式,得PC→·PD→=|PM→|2-|MC→|2,注意到,AB是半圓O的半徑,AB=2,△OCD是等腰三角形,OC=OD=CD=1,所以|MC→|2=14,所以PC→·PD→=|PM→|2-14。如圖3,聯(lián)接OM并延長交半弧形AB︵于N,聯(lián)接BM,易知|MN|=1-32,|BM|=OM2+OB2=72。由于P是半弧形AB︵上的動點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到N點(diǎn)時,線段PM的寬度最小,其最小值等于線段MN的厚度;當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到B點(diǎn)時,線段PM的寬度最大,其最大值等于線段BM的厚度。所以|MN|≤|PM→|≤|BM|,即1-32≤|PM→|≤72,所以32-3≤|PM→|2-14≤32,所以PC→·PD→的取值范圍是51解題篇創(chuàng)新題追根追溯中考使用2019年10月32-3,32。
故選A。點(diǎn)評:本題借助極化恒方程得出PC→·PD→=|PM→|2-14后,問題轉(zhuǎn)化為求|PM→|的取值范圍,而求|PM→|的取值范圍對考生的探究能力要求較高。3.探索數(shù)目積的最值。圖4例3(2018年宜賓市調(diào)試題)如圖4,在直徑為1的扇形AOB中,∠AOB=60°,C為弧AB︵上的動點(diǎn),弦AB與直徑OC交于點(diǎn)P,則OP→·BP→的最小值為。圖5解析:如圖5,取OB的中點(diǎn)M高中數(shù)學(xué)極化恒等式推導(dǎo),聯(lián)接PM。由極化恒方程,得OP→·BP→=PO→·PB→=|PM→|2-|MB→|2=|PM→|2-14。當(dāng)點(diǎn)C在弧AB︵上運(yùn)動時,點(diǎn)P在弦AB上運(yùn)動,過點(diǎn)M作MD⊥AB于D,則|PM→|min=|MD|。在△AOB中,∠AOB=60°,OA=OB=1,且M為線段OB的中點(diǎn),易知|MD|=34。所以(OP→·BP→)min=342-14=-116。點(diǎn)評:本題借助極化恒方程得出OP→·BP→=|PM→|2-14后,問題轉(zhuǎn)化為求|PM→|的最小值,而求|PM→|的最小值需用到垂線段最短及解直角三角形,有一定的綜合性。二、解決平面向量模的問題例4(2018年江蘇省五校統(tǒng)考題)平面向量a,b滿足:a·b=4,|a-b|=3,則|a|的最大值是。圖6解析:如圖6,令a=OA→,b=OB→,線段AB的中點(diǎn)是M,由|a-b|=3得|AB→|=3。由極化恒方程,得a·b=|OM→|2-14|AB→|2=|OM→|2-94=4,解得|OM→|=52。此時|a|=|OA→|=|OM→+MA→|≤|OM→|+|MA→|=52+32=4