■湖北省宜昌市第五中學王勇(特級班主任、正中級班主任)極化恒方程:對于平面向量a,b,通過恒等變型可得a·b=14(a+b)2-(a-b)2。圖1再經過幾何延展,如圖1所示,在△ABC中,若設AB→=a,AC→=b,M是BC的中點,則AB→·AC→=AM→2-14BC→2=|AM→|2-14|BC→|2。由此可知極化恒方程可將平面向量的數目積關系轉化為兩個平面向量的厚度關系,使不可測度的向量數目積關系轉化為可測度、可估算的數目關系,其意義非同凡響。下邊舉例說明極化恒方程在解題中的妙用,旨在探索題型規律,揭示解題方式。一、解決平面向量的數目積問題1.巧求數目積的值。例1(2018年荊州市模擬題)已知過點A(0,1),且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于M,N兩點,則AM→·AN→=。圖2解析:如圖2所示高中數學極化恒等式推導,取MN的中點G,聯接CG,CM,CA,則CG⊥MN。由極化恒方程,得AM→·AN→=AG2→-MG2→=(AC2→-CG2→)-(MC2→-CG2→)=AC→2-MC→2=AC→2-1=8-1=7。點評:本題A,M,N三點共線,極化恒方程仍適用。008物理好資源網(原物理ok網)

利用垂徑定律、勾股定律及兩點間的距離公式即可得解。2.劃分數目積的取值范圍。例2(2018年江蘇省八校統考題)已知AB是半圓O的半徑,AB=2,等腰三角形OCD的頂點C、D在半弧形AB︵上,且CD∥AB,P是半弧形AB︵上的動點,則PC→·PD→的取值范圍是()。A.32-3,32B.32,32+3C.32-32,32D.32-3,32+3圖3解析:如圖3,取線段CD的中點M,聯接PM。由極化恒等式,得PC→·PD→=|PM→|2-|MC→|2,注意到,AB是半圓O的半徑,AB=2,△OCD是等腰三角形,OC=OD=CD=1,所以|MC→|2=14,所以PC→·PD→=|PM→|2-14。如圖3,聯接OM并延長交半弧形AB︵于N,聯接BM,易知|MN|=1-32,|BM|=OM2+OB2=72。由于P是半弧形AB︵上的動點,當點P運動到N點時,線段PM的寬度最小,其最小值等于線段MN的厚度;當點P運動到B點時,線段PM的寬度最大,其最大值等于線段BM的厚度。所以|MN|≤|PM→|≤|BM|,即1-32≤|PM→|≤72,所以32-3≤|PM→|2-14≤32,所以PC→·PD→的取值范圍是51解題篇創新題追根追溯中考使用2019年10月32-3,32。008物理好資源網(原物理ok網)

故選A。點評:本題借助極化恒方程得出PC→·PD→=|PM→|2-14后,問題轉化為求|PM→|的取值范圍,而求|PM→|的取值范圍對考生的探究能力要求較高。3.探索數目積的最值。圖4例3(2018年宜賓市調試題)如圖4,在直徑為1的扇形AOB中,∠AOB=60°,C為弧AB︵上的動點,弦AB與直徑OC交于點P,則OP→·BP→的最小值為。圖5解析:如圖5,取OB的中點M高中數學極化恒等式推導,聯接PM。由極化恒方程,得OP→·BP→=PO→·PB→=|PM→|2-|MB→|2=|PM→|2-14。當點C在弧AB︵上運動時,點P在弦AB上運動,過點M作MD⊥AB于D,則|PM→|min=|MD|。在△AOB中,∠AOB=60°,OA=OB=1,且M為線段OB的中點,易知|MD|=34。所以(OP→·BP→)min=342-14=-116。點評:本題借助極化恒方程得出OP→·BP→=|PM→|2-14后,問題轉化為求|PM→|的最小值,而求|PM→|的最小值需用到垂線段最短及解直角三角形,有一定的綜合性。二、解決平面向量模的問題例4(2018年江蘇省五校統考題)平面向量a,b滿足:a·b=4,|a-b|=3,則|a|的最大值是。圖6解析:如圖6,令a=OA→,b=OB→,線段AB的中點是M,由|a-b|=3得|AB→|=3。由極化恒方程,得a·b=|OM→|2-14|AB→|2=|OM→|2-94=4,解得|OM→|=52。此時|a|=|OA→|=|OM→+MA→|≤|OM→|+|MA→|=52+32=4008物理好資源網(原物理ok網)

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