已知電荷Q激發(fā)的電場(chǎng)為{E}=kQfrac{hat{r}}{r^n}，\求相距2a的兩個(gè)電荷形成的電場(chǎng)線充電 pm Q.
由于系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，只需要兩個(gè)電荷所在的某個(gè)平面內(nèi)的電場(chǎng)線。 建立平面直角坐標(biāo)系，使正電荷位于(a,0)，負(fù)電荷位于(-a,0)。 很容易寫出電場(chǎng)為{E} =vec{E_+}+vec{E_-} =kQ(frac{hat{r}_+}{r_+^n}- frac{hat{ r}_-}{r_-^n})\ =kQbigg[frac{(xa)hat{x}+yhat{y}}{{r_+}^{ n+1}} -frac{(x+a)hat{x}+yhat{y}}{{r_-}^{n+1}}bigg],\ 其中 r_+ 和 r_ - 分別是場(chǎng) 點(diǎn)到正電荷和負(fù)電荷的距離。 這樣，電場(chǎng)線方程可寫為： frac{dy}{dx}=frac{E_y}{E_x}= frac{frac{y}{{r_+}^{n+ 1}}- frac{y}{{r_-}^{n+1}}}{frac{xa}{{r_+}^{n+1}}-frac{x +a}{{ r_-}^{ n+1}}}\ 求解這個(gè)方程需要一些技巧。 首先，電場(chǎng)分量分母上的r_+和r_-是關(guān)于x和y的多項(xiàng)式的根，處理起來很不方便。
因此，首先將分母相同的項(xiàng)組合起來得到frac{(x - a) dy - y dx}{{r_+}^{n+1}} =frac{(x + a) dy - y dx}{{r_-}^{n+1}}\ 此時(shí)其實(shí)可以直接看出分子可以寫成全微分-y^2 d(frac{x pm a}{y}) ，但如果你看不到它也沒關(guān)系。 您可以使用積分因子方法來獲得全微分。 例如電場(chǎng)線，對(duì)于等號(hào)左邊的分子，令積分因子為mu(x,y)，mu(x - a) dy - mu y dx 為全微分。 那么frac{}{ x}[mu(xa)]=frac{}{ y}(-mu y)\ 2mu+frac{ mu}{ x}( xa)+frac{\mu}{ y}y=0\ 假設(shè)mu只是y的函數(shù)，則得到mu=-frac{1}{y^2}，可得通過積分 (x - a) dy - y dx=-y^2 d(frac{x - a}{y}) 。
等號(hào)右邊也有類似的結(jié)果，我們最終得到 frac{ d(frac{x - a}{y})}{{[(xa)^2+y^2] }^{frac{n+ 1}{2}}} =frac{ d(frac{x + a}{y})}{{[(x+a)^2+y^2]}^ {frac{n+1 }{2}}}\ 此時(shí)，做法已經(jīng)很明顯了：讓u_{pm}=frac{xmp a}{y}，我們得到frac{ du_+}{{(1+u_+ ^2)}^{frac{n+1}{2}}} =frac{ du_-}{{(1+u_-^2)}^{ frac{n+1}{2}} }\Sointfrac{ du_+}{{(1+u_+^2)}^{frac{n+1}{2}}} - intfrac{ du_-}{{ (1+u_-^2)}^{frac{n+1}{2}}}={const}\ 是電場(chǎng)線方程。 假設(shè)u_{pm}=tan{{pm}}，則frac{pi}{2}-{pm}是場(chǎng)相對(duì)正負(fù)電荷的位置向量之間的角度點(diǎn)與x軸正方向夾角，電場(chǎng)線方程為int cos^{n-1}+ d+-int cos^{n-1}- d -={const}\
最后將上述結(jié)果應(yīng)用到幾個(gè)具體例子中。
(1) 考慮兩個(gè)均勻帶電的球體或均勻帶電的圓柱體。 它們的電荷密度相反，半徑大于a。 然后中間就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)空腔。 腔體滿足n=-1的情況，帶入上式可得u_+ -u_-={const}，即y={const}。 事實(shí)上，利用矢量法很容易得出腔體內(nèi)存在均勻電場(chǎng)的結(jié)論。
(2)奇怪的模型：n=0。 （我想不出有什么常見的模型具有這種性質(zhì)？）此時(shí)，電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)大小處處相同，因此電場(chǎng)的方向垂直于電荷的角平分線場(chǎng)點(diǎn)和連接兩個(gè)電荷的線。 這與橢圓的光學(xué)特性一致電場(chǎng)線，因此電場(chǎng)線是橢圓的一部分。
用方程驗(yàn)證上面的結(jié)論：方程給出sinh^{-1}u_+-sinh^{-1}u_-={const}，所以u(píng)_+sqrt{1+u_-^2} -u_- sqrt{1+u_+^2}={const} 。 然后切換到橢圓坐標(biāo)系(xi,\eta)（暫時(shí)只考慮上半平面）：
x=axieta, y=asqrt{(xi^2-1)(1-eta^2)},\ u_{pm}=frac{xieta mp 1}{sqrt{(xi^2-1)(1-eta^2)}}, sqrt{1+u_{pm}^2}=frac{ximpeta }{sqrt{(xi^2-1)(1-eta^2)}}\ 代入，得frac{2xi}{1-xi^2}={const} ，且 1 ">xi>1，我們得到xi為常數(shù)，即電場(chǎng)線是以(pm a,0)為焦點(diǎn)的上半橢圓，電場(chǎng)線(形狀和方向）的下半平面與其對(duì)稱。
(3) 對(duì)于兩根電荷線密度相反的均勻帶電導(dǎo)線，求電場(chǎng)線方程。 （或者求兩個(gè)電荷密度相反的均勻帶電圓柱體外的電場(chǎng)。這兩個(gè)問題是等價(jià)的）這對(duì)應(yīng)于n=1的情況，在這種情況下使用下面的表達(dá)式（關(guān)于theta{pm}）公式速度更快，我們直接得到+--={const}，這意味著場(chǎng)點(diǎn)與連線(pm a,0)之間的角度是一個(gè)常數(shù)值（圓周角），并且電場(chǎng)線是 (pm a,0) 圓，只不過 x 軸兩側(cè)的電場(chǎng)線方向相反。
(4)符合庫(kù)侖定律的兩個(gè)實(shí)點(diǎn)電荷，即n=2的情況。 積分得frac{xa}{sqrt{y^2+(xa)^2}}-frac{x+a}{sqrt{y^2+(x+a)^2}}= { const}\ 在[-2,0]中取不同的值，得到所有電場(chǎng)線。 這個(gè)方程從電通量的角度可以更好地理解，但繼續(xù)強(qiáng)行簡(jiǎn)化似乎只會(huì)導(dǎo)致混亂的高階曲線。
值得一看的是遠(yuǎn)處的電場(chǎng)線，即電偶極子的電場(chǎng)線。 此時(shí){const}趨于0。除了極少數(shù)接近y軸的場(chǎng)點(diǎn)外，均具有xgg a。 因此，方程可以近似為 frac{}{ x}frac{x}{ sqrt{x^2+y^2}}cdot(-2a)={const}\ frac {y^2}{(x^2+y^2)^frac{3}{2} }=frac{{const}}{-2a}\ 用極坐標(biāo)表示，就是 r= frac{-2a}{{const}}sin^2theta\ 可見電偶極子 電場(chǎng)線具有固定形狀。