7磨擦數值算法簡介
在過去的三六年間，估算接觸熱學領域發展了多種用于求解磨擦接觸問題的算法。在對磨擦接觸問題進行數值模擬時，一個主要困難是磨擦力與切向滑動量之間的本構關系是非光滑的，本構函數在個別點上不可微分，進而導致數值估算中迭代收斂困難，這個問題可以通過對磨擦本構關系的規則化來解決。
目前已有多種迭代方案用于帶磨擦的接觸剖析，可大致分為以下幾類：試探-校核算法、基于塑性理論中的彈塑性類比方式、基于優化理論的物理規劃方式。后兩類方式以嚴密的物理理論為基礎，其可靠性低于試探-校核算法。
試探-校核算法通常是應用于小變型情況。對于磨擦接觸問題，解的惟一性和存在性均不能保證，為此試探-校核算法在好多情況下并不可靠。但試探-校核算法依舊得到了成功的應用，在顯式有限元剖析中才能獲得合理的結果。
近幾六年平均摩擦力怎么算，定理和其他磨擦本構關系被列入塑性理論的研究范疇，基于彈塑性理論的返回映射方案已成功應用于有限元磨擦接觸剖析，該方案使算法的收斂行為和可靠性形成了本質的提升。返回映射方案最初用于材料非線性問題，用以積分彈塑性本構關系。將磨擦定理類比為彈塑性本構關系，就可以將返回映射方案應用于帶磨擦的接觸剖析。因為磨擦本構關系的非關聯性，返回映射方案所得到的切線撓度矩陣一般不對稱，降低了數值求解的難度。除返回映射方案之外，其他幾種來始于塑性理論的方式，比如屈服極限拉氏乘子法，也已用于磨擦接觸問題的數值剖析中。
語文規劃方案在磨擦的模擬中也有較為成功的應用。據悉，其他的一些途徑，比如內點法、屏障法、連續近似法等，也被嘗試用于磨擦接觸剖析中。
磨擦接觸剖析中，須要分辨滑動或黏結兩種狀態。對于黏結狀態，一般可以使用一個參數（罰值）εT將其引入到罰函數或則拉格朗日格式，εT相當于切向滑動的撓度。并且這些處理促使靜磨擦力的大小依賴εT的數值。對于過小的εT，可能造成化學上有問題的估算結果，即接觸界面出現類似粘滑效應的行為，與實際情況不符。似乎可以采用較大的εT來解決這個問題，并且εT取值過大將造成多項式組出現病態或則迭代流程喪失強壯性。
8磨擦定理與磨擦定理的正則化
8.1庫倫磨擦定理
兩接觸表面的切向力一旦超過了某一個極限值，兩表面不再保持黏結狀態，而是發生相對的滑動。須要使用適當磨擦模型來描述這些切向行為。在實際工程中，庫倫定理因其簡單和適用性被廣泛采用。庫侖定理的表達式如下：
其中μ為磨擦系數，在精典庫侖定理中被視為常數，由兩接觸面的材料種類決定；pN為法向接觸壓力；?T為相對滑動速率；tT為切向磨擦力。
庫侖定理表明，當磨擦力大于μpN時，無相對滑動，處于黏結狀態；當有相對滑動時，磨擦力必然達到極限值μpN。
磨擦系數一般受多種誘因的影響，比如表面粗糙度、相對滑動速率?T、法向接觸壓力pN、環境濕度θ等。假如考慮這種影響，可以得到精典庫侖定理的改進方式：
8.2庫侖定理的規則化
精典庫倫磨擦定理是不可微的，在相對滑動速率?T=0處發生由粘接至滑動的突變，當?T反向時，磨擦力tT也立刻發生反轉。這些突變將造成數值估算中迭代的收斂困難。為此提出了一些規則化（即光滑化）的模型來取代精典庫倫磨擦模型，這種規則化模型可以抒發為如下方式
式中，函數φ(?T)拿來描述由黏結狀態至滑動狀態的光滑過渡。不同的規則化模型中，φ(?T)可采用多種方式，分別對應于不同的規則化模型。
在以上模型中平均摩擦力怎么算，標量參數ε為規則化參數，當ε→0即為精典庫倫磨擦定理。ε不宜取值過大，否則規則化模型將與實際的接觸界面黏結-滑動規律有較大出入。
上述規則化模型的前三種才能提供光滑的磨擦力-滑動量曲線，但第四種模型類似于理想彈塑性撓度-應變關系，以便采用彈塑性熱學中的相關方案處理。
當采用規則化的模型后，剖析中不存在黏結狀態，而統一的應用前面的物理描述來進行磨擦剖析。這在數學上可以更真實地描述實際磨擦現象，由于兩個接觸面上都存在一定的不泰安，因而完全黏結的接觸狀態是不存在的。只要有切向磨擦力的存在，總要伴隨發生一定的相對滑動，而規則化的磨擦模型剛好可以描述這種化學現象。
8.3磨擦定理的彈塑性類比
彈塑性類比方案的關鍵思想在于將切向滑動gT分離為彈性滑動部份gTe和塑性滑動部份gTp，如圖2。
圖2：切向滑移量的分離
這些分離方可視為對磨擦定理的規則化。并且它也有實際的化學含意：gTe代表接觸界面上的彈性微小位移，卸載后gTe和由gTe造成的變型將恢復為0；gTp代表不可恢復的位移，在卸載后依然存在。
對于切向磨擦的彈性部份，可采用以下各向同性線彈性模型，
式中，cT為界面彈性常數。
也可采用各向異性線彈性模型
式中，cT為彈性系數張量。
切向磨擦的塑性部份也有類似的本構等式，可依照彈塑性理論的標準概念導入。與彈塑性理論進行類比，可以構建屈服函數fs(tT)和相應的屈服準則，如下：
屈服函數fs(tT)可以簡單的抒發為：
上式等價于精典庫倫磨擦定理。
借助最大耗散原理，得
之后可以導入塑性滑動的流動法則
據悉，還可以得到加載-卸載準則
按照上式可確定參數?.
9商用有限元軟件中的接觸和磨擦算法
9.1中的接觸算法
缺省使用拉氏乘子法施加接觸約束，用戶也可選擇使用罰函數或增廣拉格朗日法。在接觸模擬中，要在各個預制構件上構建表面，定義可能會發生接觸的一對表面（接觸對），之后根據本構關系求出表面間的法向和切向互相作用。
可以手動確定二維和三維實體單元的自由面，并借助它們構建一個表面。對于殼單元和剛性單元，必須指明是正法向的面還是負法向的面。
應用單純的主控-從屬接觸算法，執行單邊接觸檢測：從屬表面的節點不能穿透主控表面的任何部份，這些算法對于主控表面沒有限制，它可以在從屬表面的節點之間穿透從屬表面。因而必須正確選擇從屬與主控表面，要遵守的簡單原則是：
（1）從屬表面應當是網格界定的更精細的表面。
（2）假如網格密度相仿，從屬表面應該由更厚實的材料組成。
定義接觸對時，須確定兩表面之間的相對滑動是小量還是有限值。默認設置是有限滑動狀態。當應用小滑動公式時，從模擬開始就完善從屬表面和主控表面之間的關系，確定主控表面那個部份與從屬表面的結點發生作用。這些互相關系在剖析過程中保持不變。對于有限滑動情況，兩個變型表面間的有限滑動模擬僅能用于二維問題，變型面和剛性面的有限滑動估算可用于三維問題。
圖3為接觸剖析的流程。在增量步開始前檢測所有接觸對的狀態，判定從屬結點是否步入接觸，對于接觸的結點，判定是滑動還是粘接，之后施加相應的約束。
圖3：接觸算法流程
在檢測力或轉矩的平衡前，首先檢測從屬結點接觸條件的變化，假如檢查到當前迭代步的任何接觸狀態改變，則標示為嚴重不連續迭代，不進行平衡檢驗，而是改變接觸約束步入第二次迭代。直到接觸狀態不再變化，才進行平衡收斂檢測，假如收斂性不滿足，則進行下一次迭代。
9.2MSC.MARC中的接觸算法
MARC軟件提供了基于直接約束的接觸算法，是解決所有接觸問題的通用方式。非常是對大面積接觸，以及事先未能預知接觸發生區域的接觸問題，程序能依據物體的運動約束和互相作用手動偵測接觸區域。當發生接觸時，使用邊界條件直接約束運動體，二者的運動約束轉化成了節點自由度的約束和節點力的約束。
MARC中的接觸檢測默認采用雙邊檢測，為提升檢查速率，用戶也可選擇單邊檢測。MARC除了可以處理變型面和剛性面之間的有限滑動，對于變型面與變型面間的有限滑動也能挺好的處理。
MARC軟件接觸算法基本流程如圖4所示。從圖4可見，整個過程包括：
據悉，對于接觸區域事先已知的情況，用戶還可使用間隙單元(gap單元)方案，或則基于罰函數方式，通過用戶子程序對接觸界面施加非線性彈簧。
圖4：MARC接觸算法流程
作者簡介
王朋波，復旦學院熱學博士，車輛結構CAE剖析專家。上海市婦聯成員、《計算機輔助工程》期刊審稿人、交通運輸部項目評審專家。專業領域為整車疲勞耐久/NVH/碰撞安全性能開發與仿真估算，車體結構優化與輕量化，CAE剖析流程手動化等。王朋波私人陌陌：；加微請標明：單位+姓名。