1、43第3章質心定軸轉動和角動量守恒定理在前幾章質點運動中，我們忽視了物體自身大小和形狀，將物體視為質點，用質點的運動取代了整個物體的運動。并且在實際物體運動中，除了物體在大小和形狀千差，但是運動又有平動和轉動之別。這時我們須要另一個突出主要特點，忽略其次要誘因，既具有大小又具有形狀的理想模型質心。在受力的作用時，其形狀和容積都不發(fā)生任何變化的物體，稱做質心。本章將介紹質心所遵照的熱學規(guī)律，重點討論質心的定軸轉動這些簡單的情況。因為質心轉動的基本概念和原理與前幾章質點運動的基本概念和原理相像，因而我們將質心轉動與質點運動對比學習一會事半功倍。§3-1質心定軸轉動1.質心運動的方式
2、剛體的運動可以分為平動、轉動及平動與轉動的疊加。圖3-1質心的平動平動的定義為，在質心在運動過程中，質心中任意兩點的連線仍然平行。如圖5-1所示。因為平動時質心內各點的運動情況都是一樣的，因而描述質心平動只須要描寫質心內一點的運動，也就是說質心的平動只要用其中一個點的運動就可以代表它整體的運動。圖3-2質心定軸轉動轉動的定義為，質心運動時，質心中所有質點都繞同一條直線作圓周運動，這條直線稱為轉軸。轉軸可以是固定的，也可以是變化的。若轉軸固定，稱為質心定軸轉動。若轉軸不固定，運動比較復雜。質心的通常運動可以看作是平動和轉動的疊加。平動在前幾章早已研究過，本章我們主要研究定軸轉動。2.質心的定
3、軸轉動研究質心繞定軸轉動時，選與轉軸垂直的圓周軌道所在平面為轉動平面。因為描述各質元運動的角量，如角位移、角速率和角加速度都是一樣的，因而描述質心運動時用角量較為便捷。由于質心上各質元的直徑不同，所以各質元的速率和加速度不相等。角速率和角加速度通常情況下是矢量，因為質心定軸轉動時角速率和角加速度的方向沿轉軸方向，因而可用帶有“+、-”的標量表示角速率和角加速度。這些技巧我們并不陌生，質點作直線運動時我們也是用帶有“+、-”的標量表示速率和加速度。角速率的大小為（3-1）它的方向規(guī)定為沿轉軸的方向，其指向由左手螺旋法則確定。角加速度為（3-2）它的方向規(guī)定為沿轉軸的方向，其指向由左手螺旋法則
4、確定。離轉軸的距離為的質元的線速率和質心的角速率的關系為：（3-3）其加速度和質心的角加速度的關系為：（3-4）（3-5）§3-2質心的轉動動能轉動力矩1質心的轉動動能質心繞定軸轉動時，質心中各質元都繞定軸作圓周運動，因此都有動能，質心的轉動動能等于質心中所有質元的動能之和如何證明角動量守恒定律，可表示為（3-6）式中，為質心對定軸的轉動力矩，所以質心繞定軸轉動的動能（3-6）即質心繞定軸轉動的動能等于質心的轉動力矩和角速率平方的乘積的一半。質點的動能：，質心轉動的動能：；質心定軸轉動的動能與質點的動能抒發(fā)方式相像，質心的轉動力矩J是質心繞定軸轉動的慣性大小的測度，其在定軸轉動中的地位與平
5、動時質量m的地位相像，轉動中的角速率與平動中的速率地位相像。2.質心的轉動力矩從質心定軸轉動的動能可知，質心的轉動力矩J和質點的質量m相對應。質量m是物體平動慣性大小的量度，質量越大的，它的速率越不易改變。質心的轉動力矩J是物體轉動慣性大小的量度。轉動力矩J越大的，它的角速率越不易改變。按照轉動力矩的定義：轉動力矩J等于質心上各質點的質量與各質點到轉軸距離平方的乘積之和。對于質點連續(xù)分布的質心，上述求和可以用定積分取代，即（3-7）式中，r為質心內任意質元dm到轉軸的垂直距離。轉動力矩的化學意義:質心對定軸的轉動力矩等于質心中各質元的質量和它們各自離該軸的垂直距離的平方的乘積的總和，它的
6、大小除了與質心的總質量有關，并且和質量相對于軸的分別有關，其關系可概括如下1)形狀、大小相同的均勻質心總質量越大，轉動力矩越大；2)質心總質量相同，質量分布離軸越遠，轉動力矩越大；3)同一質心，轉軸不同，質量分布就不同，因此轉動力矩就不同。在國際單位制中，轉動力矩的單位是千克·米2，符號為kg·m2。例3-1一根質量為m、長為l的均勻細棒，繞通過棒的中心(剛體)并與棒相垂直的轉軸旋轉，求細棒對轉軸的轉動力矩。解：將棒的中點取為座標原點，構建座標系Oxy，取y軸為轉軸，如圖所示。在距離轉軸為x處取棒元dx，其質量為由式有例3-2求質量為，直徑為，長度極
7、薄的均勻圓環(huán)的轉動力矩。軸與圓環(huán)平面垂直并通過其圓心，如圖所示。解：按照轉動力矩的定義式，又由于環(huán)上各質元到軸的垂直距離為R，且都相等，所以因為轉動力矩是可疊加的，所以一個質量為，直徑為的薄圓筒對其軸的轉動力矩也是。例3-3求質量為，直徑為，長度為l的均勻圓盤的轉動力矩。軸與圓盤平面垂直并通過其圓心，如圖所示。解：按照轉動力矩的定義式，又由于圓盤可以覺得是由許多原環(huán)組成。取任一直徑為，寬為的薄圓環(huán)，其轉動力矩為，式中為薄圓環(huán)的質量，以表示圓盤的體密度，則，所以，故圓盤的轉動力矩為表2-2常見質心的轉動力矩3.平行軸定律圖2-3平行軸定律平行軸定律常用于求轉動力矩。可以證明，假如質心對過質
8、心C的軸的轉動力矩為JC，則對另一與此軸平行的任意軸的轉動力矩為(3-8)其中m為質心的質量，d為兩平行軸之間的距離。這就是平行軸定律。由此可知，質心對通過剛體的軸的轉動力矩JC最小，而對任何與過剛體的軸平行的軸的轉動力矩J都小于JC。例3-4一根質量為m、l的均勻細棒，繞通過棒的一端并與棒相垂直的轉軸在旋轉，求細棒對轉軸的轉動力矩解法1(定義法)：將棒的中點取為座標原點，構建座標系Oxy，取y軸為轉軸，如圖所示。在距離轉軸為x處取棒元dx，其質量為由式有解法2(平行軸定律法)：將例題3-4看為例題5-1的轉軸由剛體向外平移了，按照平行軸定律，則有借助平行軸定律除了可以便捷地估算轉
9、動力矩，并且對研究滾動問題也是大有幫助的。§3-3質心定軸轉動定理在解決質點的運動問題時，牛頓第二定理十分有效，這么，怎么解決質心的運動問題呢？1.力對定軸的扭矩日常生活經驗告許我們，用同樣大小的力推開門，當作用點緊靠門軸時，不容易把門打開；當作用點遠離門軸時，門就容易推開；當力的作用線通過門軸或力的方向和門軸平行時，就不能把門推開。實踐表明，為了改變質心原先的運動狀態(tài)，必須對質心施加斥力。外力對質心轉動的影響，除了與斥力的大小有關，并且與力的方向和作用點的位置有關，即要改變質心原先的運動狀態(tài)就必須考慮斥力的大小、方向和作用點三要素。因此，我們引入扭力這一數學量。圖3-5
10、力矩如圖所示，設轉軸O垂直于質心的轉動平面，力和作用點的矢徑都在平面內，力與矢徑的傾角為，我們定義斥力對轉軸的轉矩為(3-9)扭矩的大小為(3-10)令，則d是轉軸O與斥力線間的垂直距離，稱為力臂。扭矩方向用左手螺旋法則確定：伸開雙手，四指先指向矢徑方向，沿大于180度轉向斥力的方向，則手指所指方向就是轉矩的方向。如圖3-29所示。假若外力不在垂直轉軸的平面內，可將分解為兩個分力，一個分力在垂直于轉軸的平面內，另一個分力與轉軸平行，對質心的轉動不起作用。當質心同時遭到幾個轉矩作用時，合扭矩等于各個轉矩的代數和。在國際單位制中，扭矩的單位是牛頓米，符號為Nm。2.轉動定理在研究質點運
11、動時，牛頓第二定理給出了合外力和加速度的關系。在研究質心的運動時，因為質心用各質點的合內力為0，在此不討論合內轉矩。質心在外扭矩的作用下作定軸轉動，我們可以將質心界定為n個質元，每一質元的運動均應遵循牛頓運動定理，即對質元的扭力(3-11)此式表明質心做定軸轉動時，質心對定軸的轉動力矩與其角加速度的乘積等于質心所受外力的合外轉矩，稱為質心定軸轉動定理。牛頓第二定理是解決質點運動問題的基本多項式，轉動定理是解決質心定軸轉動問題的基本多項式。假如質心所受的合外扭力為零，則由轉動定理可知角加速度為零，即質心處于靜止或勻角速轉動狀態(tài)。例3-5一個轉動力矩為5kg·m2、直徑為0.50m
12、的飛輪，正以角速率120rad/s的旋轉現用閘瓦將其剎車，假如閘瓦對飛輪的正壓力為1000N，閘瓦與飛輪之間的磨擦系數為0.60。求：1)從開始剎車到停止，飛輪轉過的角度；2)閘瓦對飛輪施加的磨擦扭矩所作的功。解：1)為了求得飛輪從剎車到停止所轉過的角度，必須先求得磨擦力、摩擦扭矩M和飛輪的角加速度。如圖所示，飛輪的轉軸垂直于紙面，角速率順著轉軸并指向讀者，我們取角速率的方向為z軸正方向。磨擦力的大小等于磨擦系數與正壓力的乘積，即磨擦力的方向如圖所示。磨擦力對z軸扭矩M的方向與角速率方向相反，沿z軸的負方向，故需取負值，大小為依據轉動定律，可知飛輪遭到磨擦扭矩作用時的角加速度
13、為負值，即對于勻變速轉動，從開始剎車到停止，飛輪轉過的角度可由求得，即例3-6一均勻細捧長L，如圖所示懸掛。求將A端懸線割斷頓時。細捧繞O的角加速度。解：設棒的質量為m。因為O點懸線張力通過O點。對O的轉矩為零，所以在A點懸線割斷頓時，棒所受的扭矩僅有重力轉矩。對過O且垂直于紙面的轉軸有M=mg·L/4以O為原點構建如圖所示座標系，棒對過O且垂直于紙面的軸的轉動力矩為§3-4質心轉動的功和能1.扭矩的功我們早已曉得，假若質點在外力作用下沿力的方向位移則力對質點作功，且功可由斥力和質點在斥力下沿力的方向位移的乘積表示。質心轉動過程中力作的功以轉矩的方式表示
14、，扭力作功的情況與質點運動過程中外力作功的定義類似。質心在外力的作用下沿圓周軌道運動了，繞轉軸角位移，從轉軸到力的作用點的矢徑為，則力的作用點的位移的大小為，因此有（3-12）將扭矩代入，因而有（3-13）即力對轉動質心作的元功等于相應的轉矩和該扭矩作用下所發(fā)生的角位移的乘積。則此轉矩對質心做功為（3-14）上式稱為轉矩的功，扭矩所做的功，實質上仍是力所做的功。假如質心同時受幾個力的作用，則扭力應理解為這幾個力的合轉矩。依據功率的定義，可得扭矩的功率為（3-15）扭力做功的功率等于扭矩和質心角速率的乘積，當扭矩與角速率同向時功率為正，反之為負。這兒的功的SI單位是焦耳（J），功率的S
15、I單位是瓦特（W），和質點熱學中的一致。2.定軸轉動的動能定律質點的動能定律是由牛頓第二定理導入的，相類似的是質心轉動的動能定律將由轉動定理導入，扭力對轉動質心作的元功為在外扭矩作用下，角速率由弄成時，外扭矩對質心做的功為（3-16）此式稱為質心定軸轉動的動能定律。表明，質心繞定軸轉動時如何證明角動量守恒定律，質心所受合外扭矩所做的功等于剛轉動動能的增量。§3-5角動量角動量守恒定理在上面，我們曾用動量來描述質點運動狀態(tài)，引入了動量定律和動量守恒定理，它們?yōu)榻鉀Q質點運動帶來好多便捷。在研究轉動問題時，我們也可類似地引入角動量、角動量定律和角動量守恒定理，它們在解決轉動問題時同樣會給我們帶來極大的
16、方便。1.質點的角動量定律質點的角動量守恒定理1)質點的角動量設一質量為m的質點P，它對O點的位置矢量為，并具有速率。質點P對O點的角動量(曾稱為動量矩)為（3-17）質點P相對于參考點O的角動量等于質點的位置矢量與其動量的矢積。角動量是一個矢量，它的方向垂直于矢量和m組成的平面，兩者的方向滿足左手螺旋法則，即左手四指由經大于的角轉向m時，手指的指向就是的方向。其大小為（3-18）式中為與m之間的傾角。質點的角動量與參考點O密切相關，因而在述說質點的角動量時，必須指明是對哪一點的角動量。當質點繞O點作圓周運動時，。因為，因而可以寫成。由于質點作圓周運動時，其轉動力矩，所以角動量又可
17、表示為此關系在轉動中普遍適用，其實的方向垂直于平面，即與的方向相同。在國際單位制中，角動量L的單位是，其量綱為。2)質點的角動量定律我們仍然指出將質點運動與質心轉動比較學習，在質點運動中，質點所受合外力與其動量的關系為，這么在質點轉動中，其所受合外扭力與其角動量的關系怎么呢？角動量的定義為，對其兩側微分得因為，因而因為，所以因為，所以為此作用在一個質點上的合外扭矩等于該質點的角動量對時間的變化率，稱為質點角動量定律。3)質點角動量守恒定理當成用于質點的合外扭力為零（）時，由角動量定律可以導入角動量守恒定理。當合外扭力為零時，J=恒量或（3-19）即當物體所受的合外
18、力矩為零時，物體的角動量J保持不變，這一推論稱為角動量守恒定理。2.質心繞定軸轉動的角動量定律和角動量守恒定理1)質心繞定軸轉動的角動量定律質心以角速率繞z軸轉動時，質心的各質元均繞z軸做圓周運動。設質量為的質元到軸的距離為，速率為，則質元對z軸角動量為。質心中所有質元的角動量之和稱為質心對轉軸的角動量，用表示，則(3-20)這樣質心的轉動定理也可表示為（3-21）此式為矢量式，表示當質心繞定軸轉動時，作用在質心的合外扭矩等于質心繞該軸的角動量隨時間的變化率，這是用角動量表示的轉動定理，更具有普遍意義，雖然繞定軸轉動物體的轉動力矩J因內力發(fā)生變化時依然適用。這與牛頓第二定理的表達式比更
19、具有普遍意義是一樣的。設有一轉動力矩為J的質心繞定軸轉動，在合外扭矩的作用下，由時間t1到t2的時間內，其角速率由變?yōu)?由式（2-99）可得(3-22)式中稱為轉矩對給定軸的沖量矩。轉動物體遭到的沖量矩等于物體在這段時間頂角動量的增量，這一關系稱為角動量定律。2)角動量守恒定理當成用于轉動物體的合外扭力為零（）時，由角動量定律可以導入角動量守恒定理。當合外扭力為零時，J=恒量或（3-23）即當物體所受的合外扭力為零時，物體的角動量J保持不變，這一推論稱為角動量守恒定理。角動量守恒定理與動量守恒定理和能量守恒定理一樣，適用范圍趕超牛頓定理。它們即適用于研究接近光速粒子的相對論，也適用于
20、研究亞原子的量子熱學。3空間旋轉對稱性和角動量守恒定理角動量守恒定理的普遍性在于它和空間旋轉對稱性相關聯。空間的旋轉對稱性亦稱為空間各向同性，即空間所有方向對化學定理等價，沒有哪一個方向比其他方向更優(yōu)越。因為數學定理在所有方向上方式相同，任一給定實驗的發(fā)展進程與該實驗裝置在空間的取向無關，所以空間的絕對方向是不可觀測的。這就意味著，假若一個孤立系統在空間某個角位置具有角動L這么在另一個角位置也應具有相同的角動量L。否則這兩個方向的數學定理將不相同。孤立系統的角動量保持不變，這就是角動量守恒定理。為了有助于從整體上系統的理解熱學規(guī)律，我們把質點的運動規(guī)律和質心的定軸轉動規(guī)律列為下表對比。通過對比
21、可以加深對質心定軸轉動的理解，幫助記憶。表2-3質點的運動規(guī)律和質心的定軸轉動規(guī)律對比質點的運動質心的定軸轉動速率角速率加速度角加速度力扭矩質量m轉動力矩I=運動定理轉動定理動量、動能動量、動能角動量角動量動量定律角動量定律動量守恒，=恒量角動量守恒，=恒量動能定律動能定律例3-9如圖所示，長為L，質量為m1的均勻細棒能繞一端在鉛直平面內轉動。開始時，細棒靜止于豎直位置。現有一質量為m2的炮彈，以水平速率v0射入細棒上端而不射出。求細棒和炮彈開始一起運動時的角速率？剖析：因為子彈射入細棒的時間極短，我們可以近似地覺得：在這一過程中，細棒一直靜止于豎直位置
22、。因而，對于炮彈和細棒所組成的系統（也就是研究對象）在子彈射入細棒的過程中，系統所受的合外力（重力和軸的支持力等）對轉軸O的扭矩都為零。按照角動量守恒定理，系統對于O軸的角動量守恒。解：依題意可設和分別為系統開始的速率和角速率，且已知炮彈和細棒對于轉軸O的轉動力矩分別為和,依據角動量守恒定理則有:當M=0時,所以解多項式,可得。*§3-6進動當陀螺不旋轉時，因為受重扭力作用，它會翻倒在地。但當陀螺繞自身對稱軸高速旋轉時，雖然同樣遭到重扭力的作用，卻不會倒出來。陀螺一邊自轉一邊繞豎直￠軸平緩轉動，這些運動稱為進動。我們用角動量定律來剖析陀螺進動的機理。陀螺所受重力
23、矩即因為，且與方向一致，因而重力的扭矩只改變角動量的方向而不改變其大小，則矢量的端點將繞豎直軸作圓周運動，直徑是Lsin，此圓周運動的角速率就是陀螺旋進的角速率，即因則旋進運動在技術上有廣泛應用。諸如在炮膛和槍管內壁刻上螺旋形來復線，使彈體射出后高速旋轉。這樣空氣阻轉矩就只能使彈體繞前進方向旋因而不造成其翻轉。在民航和航海中常年用于導航的陀螺儀就是按照進動的原理設計的。當前，在航天、導彈、航空和航海中用于導航的為光纖陀螺儀。例4求質量m、半徑R的圓環(huán)對半徑的轉動力矩(見圖)。解：設圓環(huán)質量線密度為=m/2R在環(huán)上取質元dmdm=dl=Rddm到半徑AB的距離r=Rsi
24、n圓環(huán)對半徑的轉動力矩例5求質量m、半徑R的球殼對半徑的轉動力矩(見圖)解：設球殼質量面密度為=m/4R2將球殼視為由許多環(huán)面與半徑AB垂直的圓環(huán)組成。以這樣的圓環(huán)為積分元，其質量為dm=dS=·2r·Rd環(huán)直徑為r=Rsin球面對半徑的轉動力矩為例6求質量m、半徑R的圓球對半徑的轉動力矩(見圖10)。解：圓球的密度為將圓球視為由許多同心球殼組成。以直徑為r，厚為dr的球殼為積分元，其質量為dm=dV=·4r2dr由例5的結果，dm對半徑AB的轉動力矩為圓球對半徑的轉動力矩為為在估算質心對定軸的轉動力矩時還經常運用以下法則：例8兩個勻質
25、圓盤，一大一小，同軸地黏結在一起，構成一個組合輪，小圓盤的直徑為r，質量為m；大圓盤的直徑r'2r，質量m'2m。組合輪可繞通過其中心且垂直于大盤的光滑水平固定軸O轉動，對O軸的轉動力矩J9mr2/2。兩圓盤邊沿上分別繞有輕質細繩，細繩上端各懸掛質量為m的物體A和B如圖14所示。這一系統從靜止開始運動，繩與盤無相對滑動，繩的寬度不變。已知r1010cm，求組合輪的角加速度。解：各物體受力情況如圖14所示。對物體A、B分別應用牛頓第二定理，對車鉤用轉動定理有T-mg=mamg-T'=ma'T'·2r-Tr=9mr2/2又由角量和線量的關系a=ra'=2r從以上各色可以解出組合輪的角加速度43
