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[!--downpath--]專題23極化恒方程【方法點撥】極化恒方程：。說明：（1）極化恒方程的幾何意義是：設點是△ABC邊的中點，則，即：向量的數目積可轉化為中線長與半斜邊長的平方差．（2）具有三角幾何背景的物理問題借助極化恒方程考慮尤為簡單，讓“秒殺”向量數目積問題成為一種可能，此恒方程的精妙之處在于構建向量與幾何寬度(數目)之間的橋梁，實現向量與幾何、代數的巧妙結合。（3）遇見共起點的兩向量的數目積問題，常取第三邊的中點，進而運用極化恒方程加以解決。【典型例題】例1如圖，在中，是的中點，是上兩個三等分點，，，則的值是．【解析】設，由極化恒方程得極化恒等式推導過程，解之得可得，，為此，，為此．21*cnjy*co點評：緊緊掌握極化恒方程使用條件，三次使用極化恒方程求解。例2已知是周長為2的等腰三角形，是平面內一點，則的最小值為．【答案】本題的難點在于怎樣將“二合一”？注意到兩向量共起點且其系數和為3，可借助三點共線的方式將其“二合一”，之后使用極化恒方程。【解析】設，則，在上所以如圖，取中點為，由極化恒方程得在，由正弦定律得所以當，即為中點時，所以的最小值，此時為中點。例3如圖所示，方形ABCD的邊AB=4，AD=2，以點C為圓心，CB為直徑的圓與CD交于點E，若點P是弧形(含端點B、E)上的一點，則eqo(PA,sup6(→))·eqo(PB,sup6(→))的取值范圍是。
【答案】取AB的中點設為O，則，之后借助平幾知識確定PO的取值范圍，代入即可。【解析】取AB的中點設為O，則，當O、P、C共線時，PO取得最小值為；當P與B（或E）重合時，PO取得最大值為PO=2，所以的取值范圍是。例4直徑為2的圓O上有三點A，B，C，滿足，點是圓內一點，則的取值范圍是（）A。B。C。D。【答案】A直接兩次使用極化恒方程即可。【解析】由得在平行四邊形中，，故易知四邊形是矩形，且設四邊形對角線的交點為E由極化恒方程得所以由于是圓內一點，所以所以，即，選A。例5在△ABC中，AC＝2BC＝4，∠ACB為鈍角，M，N是邊AB上的兩個動點，且MN＝1，若的最小值為，則cos∠ACB＝．【答案】取MN的中點P，由極化恒方程將“的最小值為”轉化為AB邊上的高CH=1，之后借助兩角差的的正弦公式求解。【解析】取MN的中點P，則由極化恒方程得∵的最小值為∴由平幾知識知：當CP⊥AB時，CP最小。如圖，作CH⊥AB，H為垂足，則CH=1又AC＝2BC＝4，所以∠B＝30o，sinA=所以cos∠ACB＝cos（150o－A）=。例6已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，點P在以A為圓心且與邊BC相切的圓上，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設中點為，則，又由于，所以，故選：D。
【鞏固練習】如圖，在平面四邊形ABCD中，O為BD的中點，且OA＝3，OC＝5。若eqo(AB,sup7(―→))·eqo(AD,sup7(―→))＝－7，則eqo(BC,sup7(―→))·eqo(DC,sup7(―→))＝。2．方形中，為圓形所在平面內一點，,菱形對角線，則值為。3。若平面向量a，b滿足|2a－b|≤3，則a·b的最小值為。4。已知平面向量a，b，e滿足|e|＝1，a·e＝1，b·e＝－2，|a＋b|＝2，這么a·b的最大值為．5。在中，已知，，則面積的最大值是．6。已知單位向量，，滿足，則的值為（）A．B．C．D．17。已知，且向量與的傾角為120°，又，則的取值范圍為（）A．B．C．D．8。已知平面向量滿足，，，，這么的最小值為．9。已知銳角的外接圓的直徑為1，，則的取值范圍為．10。在中，，若是所在平面內的一點，且，則的最大值為_____。11。已知點是周長為的正三角形內切圓上的一點，則的取值范圍為_____。12。已知正矩形ABCD的周長為1，中心為O，直線l經過中心O，交AB于點M，交CD于點N，P為平面上一點，若2eqo(OP,sup6(→))＝λeqo(OB,sup6(→))＋(1－λ)eqo(OC,sup6(→))，則eqo(PM,sup6(→))·eqo(PN,sup6(→))的最小值為。
13。設點P為正三角形△ABC的邊BC上的一個動點，當eqo(PA,sup6(→))·eqo(PC,sup6(→))取得最小值時，sin∠PAC的值為．14。在平面直角座標系xOy中，點A，B分別在x軸，y軸正半軸上聯通，AB＝2，若點P滿足eqo(PA,sup6(→))·eqo(PB,sup6(→))＝2，則OP的取值范圍為．15。在△ABC中，E，F分別是線段AB，AC的中點，點P在直線EF上，若△ABC的面積為2，則eqo(PB,sup6(→))·eqo(PC,sup6(→))＋eqo(BC,sup6(→))2的最小值是．16。在直徑為1的扇形AOB中，若∠AOB＝60°，C為弧AB上的動點，AB與OC交于點P，則eqo(OP,sup14(→))·eqo(BP,sup14(→))的最小值是．【答案與提示】1。【答案】9【提示】兩次使用極化恒方程，由得，。2。【答案】【提示】設方形的對角線交點為O，由，得，。3。【答案】【解析】根據極化恒方程得：，故，所以的最小值為．4。
【答案】－5【提示】由a·e＝1，b·e＝－2得:a·e－b·e＝3，即（a－b）·e＝3，|a－b|cos?＝3a·b=14[|a＋b|2－|a－b|2]≤－5。【答案】【提示】取BC的中點為D，則，所以由于BC邊上的高線長不小于中線長，當中線就是高線時，面積最大，故面積的最大值．6。【答案】A【解析】∵，∴，如圖，設中點為，則，且，∴三點共線，，，，∴為等邊三角形，∴，∴。故選：A。7。【答案】C【解析】連結，則設的中點為，由，易知，所以故，故選：C8。【答案】【解析】由，得極化恒等式推導過程，即又（其中為向量與的傾角）所以所以。9。【答案】10。【答案】【提示】方法同上。11。【答案】12。【答案】13。【答案】14。【答案】15。【答案】16。【解析】如圖，取OB的中點D，聯接PD，則eqo(OP,sup14(→))·eqo(BP,sup14(→))＝PD2－OD2＝PD2－eqf(1,4)，即求PD的最小值．由圖可知，當PD⊥OB時，PDmin＝eqf(r(3),4)，則eqo(OP,sup14(→))·eqo(BP,sup14(→))的最小值是－eqf(1,16)。